Что такое алгебраическая дробь и когда она имеет смысл
Алгебраическая дробь — это выражение вида A/B, где A и B — многочлены, а в знаменателе есть переменная. Например: 5/x, (x + 1)/(x − 4), (a² − b²)/(3a + 3b). Если в знаменателе только число, например (x + 1)/4, это уже просто многочлен, делённый на число.
Деление на ноль невозможно, поэтому у каждой дроби есть значения переменной, при которых она не имеет смысла. Чтобы их найти, приравняй знаменатель алгебраической дроби к нулю и реши уравнение. У дроби (x + 1)/(x − 4) знаменатель равен нулю при x = 4, значит, x ≠ 4.
Значение алгебраической дроби находят подстановкой числа вместо переменной. При x = 6 дробь (x + 1)/(x − 4) равна 7/2. А при x = 4 значения нет: знаменатель обратился в ноль.
Когда в задании сказано «при каких значениях переменной дробь не имеет смысла», ответ всегда один: при тех, которые обращают знаменатель в ноль. Числитель на это не влияет.
Основное свойство дроби и сокращение алгебраических дробей
Если числитель и знаменатель умножить или разделить на один и тот же многочлен, не равный нулю, дробь не изменится. На этом свойстве держится сокращение алгебраических дробей и приведение к общему знаменателю.
Сокращать можно только множители, а не слагаемые. Поэтому первый шаг всегда один: разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь помогают вынесение общего множителя и формулы сокращённого умножения. Подробнее про приёмы — в теме разложение на множители.
Пример: (x² − 25)/(3x − 15).
- Числитель: x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
- Знаменатель: 3x − 15 = 3(x − 5).
- Сокращаем на (x − 5): получаем (x + 5)/3, при x ≠ 5.
С одночленами проще: 22p⁴q²/(99p⁵q) = 2q/(9p). Числа сокращаем на 11, степени с одинаковым основанием делим по правилам свойств степеней.
Сложение и вычитание, умножение и деление дробей
Сложение алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями: a/c + b/c = (a + b)/c. Знаменатель остаётся, числители складываются. Вычитание делается так же, но числитель вычитаемого берут в скобки: если вычитаешь дробь с числителем b + 2, пиши a − (b + 2).
Если знаменатели разные, действуй по шагам:
- Разложи каждый знаменатель на множители.
- Составь общий знаменатель из всех множителей, каждый берётся один раз в наибольшей степени.
- Найди дополнительный множитель для каждой дроби.
- Умножь на него числитель, сложи или вычти числители.
- Сократи результат, если можно.
Например, 1/(2x) + 1/(3x): общий знаменатель 6x, получаем (3 + 2)/(6x) = 5/(6x).
Умножение и деление проще: a/b × c/d = ac/(bd), а a/b : c/d = ad/(bc). Деление заменяют умножением на перевёрнутую дробь. Перед умножением полезно разложить всё на множители и сразу сократить.
Отдельный случай — противоположные многочлены. Они отличаются знаком: y − x = −(x − y). Если в знаменателях стоят x − y и y − x, вынеси минус у одного из них и получи одинаковые знаменатели.
Разбор задания: упростить выражение с двумя действиями
Упростим выражение (2/(x − 3) + 2/(x + 3)) : 8/(x² − 9).
Шаг 1. Разложим знаменатель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Сразу запишем, что x ≠ 3 и x ≠ −3.
Шаг 2. Сложим дроби в скобках. Общий знаменатель (x − 3)(x + 3). К первой дроби дополнительный множитель (x + 3), ко второй (x − 3):
(2(x + 3) + 2(x − 3))/((x − 3)(x + 3)).
Шаг 3. Упростим числитель: 2x + 6 + 2x − 6 = 4x. Получаем 4x/((x − 3)(x + 3)).
Шаг 4. Заменим деление умножением на перевёрнутую дробь:
4x/((x − 3)(x + 3)) × (x − 3)(x + 3)/8.
Шаг 5. Сократим (x − 3)(x + 3) и числа 4 и 8. Остаётся x/2.
Ответ: x/2 при x ≠ 3 и x ≠ −3. Ограничения про 3 и −3 нужно сохранить в ответе, хотя в итоговой дроби их уже не видно.
Где ошибаются чаще всего
Сокращают слагаемые. В дроби (x + 3)/3 нельзя «сократить тройки» и получить x. Сокращают только множители: сначала разложи на множители, потом сокращай.
Теряют знак при вычитании. Выражение x/(x − 1) − (x − 2)/(x − 1) равно (x − (x − 2))/(x − 1) = 2/(x − 1). Если забыть скобки, получится x − x − 2 и неверный ответ.
Путают x − y и y − x. Эти многочлены не равны, а противоположны. Если их заменить друг на друга без смены знака, ответ получится с неверным знаком.
Забывают про допустимые значения в уравнениях. В уравнении (x² − 4)/(x − 2) = 0 числитель равен нулю при x = 2 и x = −2. Но x = 2 обращает в ноль знаменатель, это посторонний корень. Ответ: x = −2. Если после умножения на знаменатель получается квадратное уравнение, проверяй каждый корень подстановкой в знаменатели.
Какие задания присылают ученики и как пользоваться страницей
По этой теме чаще всего приходят сокращение дробей, сложение и вычитание с одинаковыми и разными знаменателями, умножение и деление, упрощение выражений с несколькими действиями. Встречаются также дробно-рациональные уравнения, поиск значений, при которых дробь не имеет смысла, и построение графика, где дробь нужно сначала упростить.
Выше на странице есть список решённых заданий, у каждого показан полный ход решения. Найди похожее по виду: те же знаменатели, та же смена знака, тот же порядок действий. Если подходящего нет, сфотографируй своё задание и отправь его на сайт, чтобы получить решение с пояснениями.