Что такое линейное неравенство
Линейное неравенство — это неравенство вида ax + b > 0, где вместо знака > может стоять <, ≥ или ≤. Переменная x стоит в первой степени, поэтому и название «линейное». Примеры: 5x + 1 > 11, 16 ≥ −8 + 4x, 4x − 8 < 32 − 4x.
Главное отличие от линейного уравнения: у уравнения обычно одно решение, а у неравенства их бесконечно много. Для 5x + 1 > 11 подходят x = 3, x = 10 и x = 2,5, а x = 2 уже нет, потому что 5 × 2 + 1 = 11, а это не больше 11.
Ответ записывают промежутком. Знаки < и > дают круглую скобку, знаки ≤ и ≥ дают квадратную. Возле ±∞ скобка всегда круглая: x ≥ 10 записывается как [10; +∞).
Как решать линейные неравенства с одной переменной
Решение опирается на три свойства, которые верны и для числовых неравенств:
- к обеим частям можно прибавить или вычесть одно и то же число, знак не меняется;
- обе части можно умножить или разделить на положительное число, знак не меняется;
- обе части можно умножить или разделить на отрицательное число, но знак при этом меняется на противоположный.
Последнее легко проверить на числах: 2 < 5, но если умножить обе части на −1, получится −2 > −5.
Разбор. Решим 7x − 4 < 3x + 16.
- Переносим слагаемые с x влево, числа вправо, меняя у них знак: 7x − 3x < 16 + 4.
- Приводим подобные: 4x < 20.
- Делим на 4. Число положительное, знак остаётся: x < 5.
- Записываем ответ: (−∞; 5).
Теперь пример с минусом при x: 9 − 2x > 1. Переносим 9: −2x > −8. Делим на −2 и меняем знак: x < 4. Ответ: (−∞; 4).
Если в неравенстве есть дроби, сначала умножь обе части на общий знаменатель, он положительный, и знак не изменится. Если перед скобкой стоит минус, раскрой её и поменяй знаки внутри: −(3d + 6) = −3d − 6.
Системы линейных неравенств и двойные неравенства
В системе неравенств нужно найти значения x, которые подходят сразу всем неравенствам. Каждое неравенство решаешь отдельно, потом ищешь общую часть решений, то есть пересечение множеств. Удобно нарисовать числовую прямую и отметить оба решения.
Разбор. Решим систему: 5 − x ≤ 3 и 3x + 2 ≤ 11.
- Первое: −x ≤ −2, делим на −1 и меняем знак, получаем x ≥ 2.
- Второе: 3x ≤ 9, значит x ≤ 3.
- Общая часть: числа от 2 до 3, обе границы подходят. Ответ: [2; 3].
Если получились x > 23 и x < −12, общих чисел нет, и ответ «нет решений».
Двойное неравенство вида 1 < 2x + 3 < 9 решают сразу, действуя со всеми тремя частями: вычитаем 3, получаем −2 < 2x < 6, делим на 2, получаем −1 < x < 3. Ответ: (−1; 3). Если делишь на отрицательное число, меняй оба знака и переставляй границы местами.
Отдельный тип задач — оценка выражений. Пусть 2 < a < 3 и 4 < b < 5. Тогда a + b лежит между 6 и 8. Для разности b − a берём наибольшее b минус наименьшее a и наоборот, получаем от 1 до 3. Для произведения положительных чисел границы перемножаем: 8 < ab < 15.
Где ошибаются чаще всего
- Не меняют знак при делении на отрицательное число. Из −3x < 12 получается x > −4, а не x < −4. Перед делением посмотри на знак коэффициента.
- Путают скобки в ответе. Строгое неравенство x > 10 даёт (10; +∞), нестрогое x ≥ 10 даёт [10; +∞). Бесконечность всегда с круглой скобкой, вариант [10; +∞] неверный.
- Теряют знак при переносе. Слагаемое, перешедшее через знак неравенства, меняет знак: в 3x − 10 ≥ −5x + 70 получается 3x + 5x ≥ 70 + 10, то есть 8x ≥ 80 и x ≥ 10.
- В системе пишут объединение вместо пересечения. Для системы x > 23 и x < −12 нельзя записывать (−∞; −12) ∪ (23; +∞). Нужны числа, которые подходят обоим условиям сразу, а таких нет.
После решения подставь в исходное неравенство одно число из ответа и одно число вне ответа. Первое должно дать верное неравенство, второе нет.
Какие задания присылают и как пользоваться страницей
Ученики 8 класса присылают решение линейных неравенств с выбором ответа, системы неравенств с рисунком числовой прямой, двойные неравенства, свойства числовых неравенств (что будет, если прибавить число или умножить обе части) и оценку выражений. Встречаются и задачи с текстом, например подойдёт ли комната по площади.
Найди в списке выше задание, похожее на своё, и сверь ход решения со своим. Если подходящего нет, сфотографируй условие и получи решение по шагам. Когда освоишь эту тему, переходи к квадратным неравенствам, а для связи с графиками посмотри линейную функцию.