Что такое арифметический квадратный корень
Арифметический квадратный корень из числа a, где a ≥ 0, — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Записывают так: √a. Например, √81 = 9, потому что 9² = 81 и 9 ≥ 0.
Слова «неотрицательное» и «a ≥ 0» здесь главные:
- под корнем не может стоять отрицательное число, √(−4) в 8 классе не существует;
- значение корня никогда не бывает отрицательным, поэтому √16 = 4, а не ±4;
- √0 = 0 и √1 = 1.
Не путай квадратный корень из числа с корнями уравнения. Уравнение x² = 16 имеет два решения, 4 и −4, а √16 равен только 4. Подробнее про такие уравнения в теме квадратные уравнения.
Свойства квадратного корня
Свойства работают для неотрицательных чисел a и b:
- (√a)² = a, например (√7)² = 7;
- √(a²) = |a|, например √((−5)²) = 5;
- √(ab) = √a × √b, например √(4 × 49) = 2 × 7 = 14;
- √(a/b) = √a / √b при b > 0, например √(25/36) = 5/6.
Первое и третье свойства нужны почти в каждом задании. Если в степенях путаешься, загляни в свойства степеней: корень из a⁴ равен a², потому что (a²)² = a⁴.
У суммы и разности такого свойства нет. √(a + b) не равно √a + √b.
Как найти значение квадратного корня из числа
Если число — точный квадрат, значение находят подбором: √144 = 12, √0,25 = 0,5, √(1/49) = 1/7. Полезно помнить квадраты чисел от 1 до 20.
Если число не точный квадрат, корень приближают. Найди два соседних точных квадрата: 49 < 50 < 64, значит, √50 лежит между 7 и 8, и ближе к 7. Известные приближения: √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73. Они пригодятся при сравнении чисел и в построении графиков.
Большие числа раскладывай на множители: √245 × √5 = √1225 = 35. Можно и проще: 245 = 49 × 5, поэтому √245 = 7√5, и 7√5 × √5 = 7 × 5 = 35.
Разбор задания: значение выражения с корнями
Задание. Найдите значение выражения (√11 − 2√2)(√11 + 2√2).
Шаг 1. Посмотри на вид выражения. Это произведение разности и суммы одних и тех же чисел: √11 и 2√2. Значит, подойдёт формула a² − b² из формул сокращённого умножения.
Шаг 2. Подставь: a = √11, b = 2√2. Получится (√11)² − (2√2)².
Шаг 3. Посчитай каждое слагаемое. (√11)² = 11. (2√2)² = 2² × (√2)² = 4 × 2 = 8.
Шаг 4. Вычти: 11 − 8 = 3.
Ответ: 3.
Так же решаются задания вроде (√x + 1)(√x − 1) = x − 1 и дроби, где разность квадратов помогает сократить числитель со знаменателем. Если в задании числа вида 165² − 124², разложи их как (165 − 124)(165 + 124) и не возводи в квадрат.
Где ошибаются чаще всего
√(a²) = a. Это верно только при a ≥ 0. На самом деле √(a²) = |a|. Например, √(x² − 4x + 4) = √((x − 2)²) = |x − 2|, и при x ≤ 2 это 2 − x. Тогда x + √(x² − 4x + 4) = x + 2 − x = 2.
√(a + b) = √a + √b. Проверь на числах: √(9 + 16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 7. Складывать корни можно, только если они подобны: √8c − √50c + √18c = 2√(2c) − 5√(2c) + 3√(2c) = 0.
Корень равен отрицательному числу. В уравнении √(3x + 1) = −2 корней нет: арифметический корень не бывает отрицательным. Такие уравнения подробнее разобраны в теме иррациональные уравнения и неравенства.
Потеря знака при внесении множителя. Число 3 вносят под корень как 3² = 9, а минус остаётся снаружи: −3√2 = −√18. Для множителя с буквой смотри на условие: при a ≥ 0 выражение a√7 равно √(7a²).
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего присылают вычисление значений вроде √245 × √5 или √(1/36 × 49/64), упрощение выражений с буквами, внесение множителя под знак корня и вынесение его из-под знака корня. Встречаются уравнения с √x, сокращение дробей с корнями и текстовые задания, например про площадь прямоугольника со стороной (√3 + 1) см.
Найди похожее задание в списке выше и сверь ход решения со своим. Если такого нет, сфотографируй своё задание и получишь решение по шагам, чтобы разобрать, где именно застрял.