Что такое иррациональные уравнения и неравенства
Уравнение или неравенство называют иррациональным, если неизвестное стоит под знаком корня: √(x + 6) = x, √(3x + 4) > x, ∛(x + 2) = 5. Эту тему проходят в 10–11 классах, она часто попадается в контрольных и самостоятельных работах и в заданиях ЕГЭ.
Главная особенность в том, что корень чётной степени существует только у неотрицательного числа и сам тоже неотрицателен. Из-за этого при решении появляются посторонние корни. Если нужно вспомнить, как работают корни, загляни в темы квадратные корни и корень n-й степени.
Как решать иррациональные уравнения
Основной метод: уединить корень и возвести обе части в степень, равную показателю корня. Дальше решаешь обычное уравнение, чаще всего квадратное. Но возведение в квадрат может добавить лишние корни, поэтому нужны условия.
Два базовых случая:
- √f(x) = g(x) равносильно системе: g(x) ≥ 0 и f(x) = g(x)².
- √f(x) = √g(x) равносильно системе: f(x) = g(x) и f(x) ≥ 0. Условие g(x) ≥ 0 проверять не нужно, оно следует из равенства.
Если корней два, как в √(x + 1) + √(x + 6) = 5, уединяют один из них, возводят в квадрат, затем снова уединяют оставшийся корень и возводят ещё раз. В конце обязательна проверка подстановкой.
Если одинаковое выражение под корнем встречается ещё и вне корня, помогает замена переменной. В уравнении x² − 5x + 16 − 3√(x² − 5x + 20) = 0 берут t = √(x² − 5x + 20), где t ≥ 0. Тогда x² − 5x + 16 = t² − 4, и получается t² − 3t − 4 = 0.
Разбор: решаем √(x + 6) = x
Шаг 1. Корень уже уединён. Записываем равносильную систему: x ≥ 0 и x + 6 = x².
Шаг 2. Решаем квадратное уравнение: x² − x − 6 = 0. По теореме Виета x = 3 или x = −2.
Шаг 3. Проверяем условие x ≥ 0. Число 3 подходит, число −2 нет: корень не может быть равен отрицательному числу.
Шаг 4. Проверка: √(3 + 6) = √9 = 3, равенство верное.
Ответ: 3.
Корень −2 получился из-за возведения в квадрат. Подставишь его в исходное уравнение и получишь √4 = −2, то есть 2 = −2, что неверно.
Решение иррациональных неравенств
Здесь возводить в квадрат без условий нельзя, нужно разбирать случаи. Опорные схемы:
- √f < g равносильно системе: f ≥ 0, g > 0, f < g².
- √f > g равносильно совокупности двух систем: (g < 0 и f ≥ 0) или (g ≥ 0 и f > g²).
Пример: √(x + 6) > x.
- Если x < 0, правая часть отрицательна, а корень неотрицателен. Годится любое x с x + 6 ≥ 0, то есть −6 ≤ x < 0.
- Если x ≥ 0, возводим в квадрат: x + 6 > x², то есть x² − x − 6 < 0. Это даёт −2 < x < 3, с учётом x ≥ 0 получаем 0 ≤ x < 3.
- Объединяем: −6 ≤ x < 3.
Записи решений сводятся к квадратным неравенствам и пересечению и объединению промежутков.
Где ошибаются чаще всего
- Нет проверки или условия g ≥ 0. Для √f = g корни, при которых g < 0, всегда лишние. Проверяй условие или подставляй найденные числа.
- Не учитывают f ≥ 0 в неравенстве √f < g. Из f < g² сам по себе вывод не следует: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
- Пропускают случай g < 0 в неравенстве √f > g. Тогда решением служит вся область f ≥ 0, а не пустое множество.
- Квадрат суммы корней. (√a + √b)² равно a + b + 2√(ab), а не a + b. Про формулу вспомни в теме формулы сокращённого умножения.
- √(x²) = x. Верно √(x²) = |x|, и это важно в заданиях с модулями.
Какие задания присылают ученики
По теме на сайте 23 задания. Это уравнения с одним корнем и с двумя корнями, уравнения с заменой переменной, неравенства вида √f > g и √f < g, а также задания 11 класса, где нужно найти сумму целых решений неравенства с модулями или обратными тригонометрическими функциями.
Можно найти в списке выше задание, похожее на твоё, и сверить ход решения. Если похожего нет, сфотографируй своё условие и получи решение по шагам.