Какие тригонометрические формулы нужно знать
Все формулы опираются на единичную окружность: для угла α точка на ней имеет координаты (cos α; sin α). Отсюда сразу следуют основные тригонометрические формулы:
- sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество)
- tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α, tg α × ctg α = 1
- 1 + tg²α = 1 / cos²α
- 1 + ctg²α = 1 / sin²α
Связь между функциями одного угла дают именно эти тождества. Если известна одна функция, по ним находятся остальные. Подробнее о самой окружности и о том, как откладывать углы, написано в теме числовая окружность.
Формулы сложения и двойного угла
Когда в выражении есть сумма или разность углов, работают формулы сложения:
- sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
- sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
- cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
- cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
Если β = α, получаются формулы двойного угла:
- sin 2α = 2 sin α cos α
- cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α
Их часто применяют «справа налево». Например, sin 13° cos 17° + cos 13° sin 17° сворачивается в sin(13° + 17°) = sin 30° = ½. А 12 sin 11° cos 11° / sin 22° равно 6 sin 22° / sin 22° = 6.
Тригонометрические формулы приведения
Формулы приведения сводят функцию большого угла к функции острого угла. Запоминать таблицу не нужно, достаточно двух правил.
- Знак. Определи четверть, в которой лежит исходный угол, и поставь знак, который имеет в ней исходная функция.
- Название. Если в записи есть π/2 или 3π/2, функция меняется: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если есть π или 2π, название остаётся.
Пример: cos(π − α). Угол π − α для острого α лежит во второй четверти, там косинус отрицателен. Название не меняется, значит cos(π − α) = −cos α.
Отдельно запомни периоды: у синуса и косинуса это 2π, у тангенса и котангенса это π. Поэтому tg(17π/4) = tg(4π + π/4) = tg(π/4) = 1.
Разбор задания: найти sin и tg по cos и четверти
Условие. Известно, что cos α = −5/13 и π < α < 3π/2. Найди sin α, tg α и ctg α.
Шаг 1. Берём основное тригонометрическое тождество: sin²α = 1 − cos²α = 1 − 25/169 = 144/169.
Шаг 2. Извлекаем корень: sin α = ±12/13. Угол лежит в третьей четверти, где синус отрицателен, значит sin α = −12/13.
Шаг 3. tg α = sin α / cos α = (−12/13) : (−5/13) = 12/5.
Шаг 4. ctg α = 1 / tg α = 5/12.
Проверка. Тангенс в третьей четверти положителен, ответ это подтверждает. Такой же ход работает для всех заданий вида «найди остальные функции по одной».
Где ошибаются чаще всего
- Теряют знак после корня. Из sin²α = 144/169 следует два значения, и выбрать нужно по четверти, указанной в условии. Если четверти нет, ответ неоднозначен.
- Раскрывают синус суммы как сумму синусов. sin(α + β) не равен sin α + sin β. Проверь на α = β = 90°: слева sin 180° = 0, справа 2.
- Путают правило названия в формулах приведения. С π и 2π функция остаётся прежней, с π/2 и 3π/2 меняется.
- Берут период тангенса 2π. Он равен π, и это сильно упрощает вычисления вроде tg(17π/4).
- Забывают про область значений. Синус и косинус лежат в пределах от −1 до 1. Для функции 3 sin x cos x + 1 = 1,5 sin 2x + 1 это даёт значения от −0,5 до 2,5.
Задания по теме и как пользоваться страницей
Ученики 10 класса присылают задания нескольких типов: найти остальные функции по одной и четверти угла, вычислить значение по формулам сложения и приведения, упростить выражение с тождествами, найти наибольшее и наименьшее значения функции. Встречаются также построение точки на единичной окружности и выражения с арктангенсом.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения целиком. Если похожего нет, сфотографируй своё задание и получишь решение с пояснениями. Когда формулы уже понятны, переходи к тригонометрическим уравнениям, а для работы с графиками пригодится тема функции и их свойства.