Геометрическая прогрессия, 9 класс: примеры с решением

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел b₁, b₂, b₃, ..., в которой каждое следующее число равно предыдущему, умноженному на постоянное число q. Его называют знаменателем прогрессии. Чтобы найти q, делят любой член на предыдущий: q = b₂ ÷ b₁.

Примеры:

• 1, 2, 4, 8, 16: здесь q = 2.
• 80, 40, 20, 10: здесь q = ½, числа убывают.
• 4, −8, 16, −32: здесь q = −2, знаки чередуются.

Чтобы найти любой член, не нужно выписывать все предыдущие. Формула n-го члена: bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹. Для прогрессии 2, 6, 18, ... имеем b₁ = 2, q = 3, поэтому b₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162. Степень здесь на единицу меньше номера: между первым и пятым членом всего четыре умножения. Если забыли, как работать со степенями, загляни в тему свойства степеней.

У прогрессии есть удобное свойство: квадрат любого члена равен произведению соседних, bₙ² = bₙ₋₁ × bₙ₊₁. Проверка на числах 3, 6, 12: 6² = 36 и 3 × 12 = 36. Оно помогает, когда в условии известны два соседних члена, а нужный стоит между ними.

Сумму первых n членов обозначают Sₙ. Если q ≠ 1, то

Sₙ = b₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1)

Эту же формулу часто записывают как b₁ × (1 − qⁿ) ÷ (1 − q), результат одинаковый. Какую выбрать, зависит от удобства: при q > 1 проще первая, при q < 1 вторая, потому что в знаменателе получается положительное число.

Пример: 2 + 4 + 8 + 16 + 32. Здесь b₁ = 2, q = 2, n = 5, поэтому S₅ = 2 × (2⁵ − 1) ÷ (2 − 1) = 2 × 31 = 62. Проверка прямым сложением даёт то же число.

Отдельный случай — q = 1. Тогда все члены равны первому, и сумма считается просто: Sₙ = n × b₁. Формула с делением на q − 1 здесь не работает, потому что получился бы ноль в знаменателе.

Прогрессию называют бесконечно убывающей, если |q| < 1, то есть знаменатель по модулю меньше единицы. Члены такой прогрессии быстро приближаются к нулю: у 1, ½, ¼, ⅛, ... они становятся всё меньше, хотя нулём не становятся.

У такой прогрессии можно найти сумму бесконечного числа членов, и это обычное конечное число:

S = b₁ ÷ (1 − q)

Пример: 6, 2, ⅔, ... Здесь b₁ = 6, q = 2 ÷ 6 = ⅓. Тогда S = 6 ÷ (1 − ⅓) = 6 ÷ ⅔ = 9.

Формула работает только при |q| < 1. Если q = 2 или q = −1, члены не уменьшаются, и суммы в школьном смысле нет. Эту формулу применяют и для задач на периодические дроби, и для задач на «цепочки» фигур, где каждая следующая меньше предыдущей в одно и то же число раз.

Такие задачи про рассылку сообщений встречаются часто. Условие в нашем примере: ученик получил новость и отправил её трём друзьям. На следующем шаге каждый из получивших отправляет её трём людям, которым она ещё не пришла, и так далее. Сколько сообщений отправлено за 5 шагов.

Шаг 1. Найди закономерность. На первом шаге отправлено 3 сообщения. На втором каждый из этих троих отправил по 3, всего 9. Дальше 27, 81, 243.

Шаг 2. Определи вид последовательности. 3, 9, 27, 81, 243 — геометрическая прогрессия, b₁ = 3, q = 9 ÷ 3 = 3.

Шаг 3. Реши, что нужно найти. Вопрос про все сообщения за 5 шагов, значит, нужна сумма S₅.

Шаг 4. Подставь в формулу. S₅ = 3 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 3 × 242 ÷ 2 = 363.

Ответ: 363 сообщения. Проверка сложением: 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363.

Если в условии начальных отправителей двое, а не один, первый шаг даст уже 6 сообщений: b₁ меняется, q остаётся прежним. Поэтому в начале всегда выписывай первые два-три шага и только потом применяй формулу. Для составления условия и уравнения полезна тема текстовые задачи.

• Путают знаменатель и разность. В арифметической прогрессии числа прибавляют, в геометрической умножают. Для 5, 10, 15 разность равна 5, и это не геометрическая прогрессия: 10 ÷ 5 = 2, а 15 ÷ 10 = 1,5. Всегда проверяй, что отношение одинаково для всех соседних пар.
• Пишут qⁿ вместо qⁿ⁻¹. В формуле bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹ показатель на единицу меньше номера. Для проверки подставь n = 1: должно получиться b₁.
• Теряют знак у q. В прогрессии 1, −2, 4 знаменатель равен −2, а не 2. При отрицательном q знаки членов чередуются, и это сразу видно по условию.
• Применяют формулу бесконечной суммы при |q| ≥ 1. Сначала проверь, что |q| < 1, и только потом считай b₁ ÷ (1 − q).
• Вычисляют qⁿ неправильно. Выражение 3⁵ — это 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243, а не 3 × 5 = 15.

Чаще всего по этой теме присылают текстовые задачи: рассылка сообщений, размножение, изменение величины в одно и то же число раз. В них нужно заметить прогрессию, найти b₁ и q, а затем выбрать формулу члена или суммы. Подробное решение одного такого задания с ходом по шагам есть в списке над текстом.

Если твоё задание похоже на то, что есть в списке, открой его и сравни ход решения со своим. Если не нашёл похожего, сфотографируй условие и загрузи фото: получишь решение с объяснением каждого шага. Если в задаче встречается уравнение вида qⁿ = число, пригодится тема показательные уравнения и неравенства.