Что такое показательные уравнения и неравенства
В показательном уравнении неизвестное находится в показателе степени: 2^(x+1) = 8 или 5ˣ = 1/25. В показательном неравенстве вместо знака равенства стоит <, >, ≤ или ≥. Тему проходят в 11 классе, иногда начинают в 10, и проверяют контрольной, самостоятельной работой, а потом на ЕГЭ.
В основе лежит показательная функция y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Два её свойства нужны постоянно:
- aˣ всегда больше нуля, поэтому уравнение 3ˣ = −9 решений не имеет;
- при a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 убывает, и каждое своё значение принимает ровно один раз.
Из второго свойства следует главное правило: если a^f(x) = a^g(x), то f(x) = g(x). Чтобы им пользоваться, нужно быстро приводить числа к одному основанию, а для этого надо уверенно знать свойства степеней.
Как решать показательные уравнения: три основных способа
1. Привести к одному основанию. Это самый частый случай. Число 1/125 записываешь как 5^(−3), 0,5 как 2^(−1), 64 как 2⁶ или 4³. Затем приравниваешь показатели.
2. Вынести общий множитель. Если степени отличаются только сдвигом в показателе, выноси меньшую. Например, 3^(x+1) + 3ˣ = 36. Выносим 3ˣ: 3ˣ × (3 + 1) = 36, откуда 3ˣ = 9 и x = 2.
3. Сделать замену. В уравнении 4ˣ − 5 × 2ˣ + 4 = 0 заметь, что 4ˣ = (2ˣ)². Пусть t = 2ˣ, тогда t² − 5t + 4 = 0, то есть t = 1 или t = 4. Возвращаемся: 2ˣ = 1 даёт x = 0, 2ˣ = 4 даёт x = 2. Само квадратное уравнение решается как обычно, но не забывай, что t > 0.
Если в уравнении разные основания и ни один способ не подходит, например 9^(x+5) = 0,03 × 10^(2x+11), смотри на числа внимательно: часто их можно свести к одному основанию или разделить обе части на одну степень. Когда это не получается, помогает логарифм.
Разбор: решаем уравнение и неравенство по шагам
Уравнение 8^(2x−1) = 1/16.
- Приводим к основанию 2: 8 = 2³, 1/16 = 2^(−4).
- Получаем 2^(3(2x−1)) = 2^(−4), то есть 2^(6x−3) = 2^(−4).
- Приравниваем показатели: 6x − 3 = −4.
- Решаем: 6x = −1, x = −1/6.
- Проверка: 8^(−1/3 − 1) = 8^(−4/3) = 2^(−4) = 1/16. Верно.
Неравенство 0,5^(x+2) < 8.
- Основание 0,5 = 2^(−1), значит, левая часть равна 2^(−x−2). Правая: 8 = 2³.
- Получаем 2^(−x−2) < 2³.
- Основание 2 больше 1, поэтому знак сохраняется: −x − 2 < 3.
- Отсюда −x < 5, и x > −5 (при делении на −1 знак меняется, это уже обычное линейное неравенство).
- Проверка: при x = 0 получаем 0,25 < 8, верно; при x = −6 получаем 16 < 8, неверно.
Ответ: x > −5, то есть x ∈ (−5; +∞).
Показательные неравенства: когда знак меняется
Решение неравенства почти совпадает с решением уравнения, но есть одно отличие, от которого зависит ответ.
- Если основание a > 1, то из a^f(x) < a^g(x) следует f(x) < g(x). Знак остаётся.
- Если 0 < a < 1, то знак разворачивается: из a^f(x) < a^g(x) следует f(x) > g(x).
Так, неравенство (1/3)^x > 9 переписываем как 3^(−x) > 3², основание больше 1, значит −x > 2 и x < −2.
Для неравенства вроде 36ˣ − 2 × 18ˣ ≥ 8 × 9ˣ разделим обе части на 9ˣ. Это положительное число, знак не меняется. Получим 4ˣ − 2 × 2ˣ − 8 ≥ 0. Пусть t = 2ˣ, тогда t² − 2t − 8 ≥ 0, откуда t ≤ −2 или t ≥ 4. Первый случай невозможен, так как t > 0. Остаётся 2ˣ ≥ 4, то есть x ≥ 2. Если после замены получается неравенство второй степени, пригодятся квадратные неравенства.
Где ошибаются чаще всего
- Не меняют знак при основании меньше 1. Например, в 0,2^(3x−4) > 25 основание 0,2 = 5^(−1), и после приведения к основанию 5 знак нужно развернуть. Всегда смотри на основание перед тем, как отбрасывать его.
- Оставляют посторонний корень после замены. В уравнении 4ˣ − 3 × 2ˣ − 4 = 0 при t = 2ˣ получаем t = 4 или t = −1. Значение −1 не подходит, потому что 2ˣ > 0. Остаётся только x = 2.
- Путают сумму и произведение степеней. 2ˣ × 3ˣ = 6ˣ, но 2ˣ + 3ˣ в одну степень не складывается.
- Теряют знак у показателя. Запись 1/125 как 5³, а не 5^(−3), даёт неверный ответ. Дробь 1/aⁿ равна a^(−n).
Немного про графические задания: чтобы найти число корней уравнения 3ˣ = 5 − x, рисуют графики y = 3ˣ и y = 5 − x. Первый возрастает, второй убывает, значит, они пересекаются ровно один раз, корень один. Для таких заданий полезно повторить функции и их свойства.
Какие задания присылают ученики
На этой странице собрано 116 решённых заданий по теме. Чаще всего это уравнения вида 5^(5x−8) = 1/125 и 49^(x−30) = 1/7, уравнения с основаниями 1/7 и 7, неравенства вроде 6^(3−4x) ≤ 1/36, а также задания с заменой переменной и графическим решением.
Для подготовки к контрольной или самостоятельной работе найди в списке выше задание, похожее на своё, и сравни ход решения со своим. Если подходящего нет, сфотографируй условие и отправь на сайт: придёт решение с пояснением каждого шага.