Что такое логарифм числа и основание логарифма
Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Запись log_a b = c означает, что a^c = b. Например, log_2 8 = 3, потому что 2³ = 8, а log_3 81 = 4, потому что 3⁴ = 81.
У логарифма есть ограничения. Основание логарифма a должно быть больше 0 и не равно 1, а число под знаком логарифма должно быть положительным. Поэтому выражения log_2 0 и log_2 (−4) не существуют: никакая степень двойки не даёт ни нуль, ни отрицательное число.
Два значения полезно помнить сразу:
- log_a 1 = 0, потому что a⁰ = 1;
- log_a a = 1, потому что a¹ = a.
У двух оснований есть особые названия. lg b — логарифм по основанию 10, ln b — натуральный логарифм, его основание e ≈ 2,718.
Свойства логарифмов и формулы логарифмов
Все формулы логарифмов выводятся из свойств степеней: логарифм — это показатель, а с показателями степеней при умножении и делении поступают именно так. Для a > 0, a ≠ 1 и положительных x, y:
- log_a (xy) = log_a x + log_a y
- log_a (x/y) = log_a x − log_a y
- log_a x^k = k × log_a x (логарифм в степени: показатель выносится вперёд)
- log_(a^k) x = (1/k) × log_a x (степень в основании тоже выносится, но дробью)
- log_a b = log_c b ÷ log_c a (переход к новому основанию)
- a^(log_a b) = b (основное логарифмическое тождество)
Переход к новому основанию нужен, когда на калькуляторе есть только ln или lg. Например, log_7 5 = ln 5 ÷ ln 7 ≈ 1,609 ÷ 1,946 ≈ 0,83.
Тождество работает, когда показатель собран в один логарифм: 6 × 15^(−log_15 16) = 6 ÷ 15^(log_15 16) = 6 ÷ 16 = 3/8.
Корни в логарифмах переводи в степени. Например, log_27 (9 × ∜3): число под логарифмом равно 3² × 3^(1/4) = 3^(9/4), основание 27 = 3³, поэтому ответ (9/4) ÷ 3 = 3/4.
Разбор задания: найти log_49 28, если log_7 2 = m
Такие задания на выражение логарифма через данный встречаются в 11 классе постоянно. Идея: привести всё к основанию 7 и разложить число 28 на множители, для которых логарифм известен.
Шаг 1. Основание 49 = 7². Выносим степень из основания: log_49 28 = (1/2) × log_7 28.
Шаг 2. Раскладываем 28 = 4 × 7 и применяем формулу произведения: log_7 28 = log_7 4 + log_7 7.
Шаг 3. log_7 7 = 1, а log_7 4 = log_7 2² = 2 × log_7 2 = 2m. Значит, log_7 28 = 2m + 1.
Шаг 4. Подставляем: log_49 28 = (2m + 1)/2 = m + 1/2.
Проверка: при m = 0 получилось бы 1/2, то есть log_49 28 было бы равно log_49 49^(1/2) = log_49 7. Это не совпадает, но и m = 0 невозможно, поскольку log_7 2 > 0. Надёжнее проверять так: 2 > 1, значит m > 0, и ответ больше 1/2, что согласуется с 28 > 7.
Логарифмические уравнения, неравенства и график
В уравнении вида log_a f(x) = log_a g(x) приравнивают f(x) = g(x), а потом обязательно проверяют, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Например, log_7 (8 − x) = 0 означает 8 − x = 7⁰ = 1, откуда x = 7. Проверка: 8 − 7 = 1 > 0, корень подходит. Для log_6 (12x + 1) = 2 × log_6 7 сначала заносим двойку: 2 × log_6 7 = log_6 49, затем 12x + 1 = 49, x = 4.
В неравенствах всё то же самое, но важно основание. Если a > 1, знак неравенства сохраняется. Если 0 < a < 1, знак меняется на противоположный. Условие «под логарифмом больше нуля» записывается отдельно. Для log_2 (x² − x − 12) < 3 получаем 0 < x² − x − 12 < 8, и обе части решаются как квадратные неравенства.
График y = log_a x проходит через точку (1; 0), расположен справа от оси Oy и при a > 1 возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Если нужно найти a по рисунку, возьми точку с понятными координатами. Например, для точки (9; 2) выходит a² = 9, то есть a = 3. Логарифмическая функция обратна показательной, поэтому тема тесно связана с показательными уравнениями и общими свойствами функций.
Где ошибаются чаще всего
- Логарифм суммы раскладывают на сумму логарифмов. Формулы log_a (x + y) = log_a x + log_a y не существует. Раскладывается только произведение: log_a (xy) = log_a x + log_a y. Сумму под логарифмом сначала упрощают или считают как есть.
- Забывают проверку корней. После преобразований область допустимых значений может измениться: например, log_a x² = 2 × log_a x верно только при x > 0. Подставь найденное x в исходное уравнение и убедись, что под каждым логарифмом число положительно.
- Не меняют знак неравенства. При основании 0,5 или 1/4 функция убывает, поэтому из log_0,5 x > log_0,5 3 следует x < 3, а не x > 3 (и ещё x > 0).
- Путают значения для 0 и 1. log_a 1 = 0, а log_a 0 не существует. Если в ответе у тебя получился логарифм нуля, где-то раньше произошла ошибка.
Какие задания по логарифмам присылают ученики
Чаще всего присылают вычисление значений: логарифм степени, основное логарифмическое тождество, выражения с корнями и сменой основания. Дальше идут логарифмические уравнения и неравенства, сравнение чисел, построение и чтение графика, перевод в натуральный логарифм и выражение через данный логарифм.
Посмотри список заданий выше и найди похожее по виду: у каждого есть полный ход решения. Если своего примера нет, сфотографируй условие и отправь на сайт, чтобы получить решение с пояснениями по шагам.