Что такое производная функции и производная в точке
Производная функции f(x) — это новая функция f'(x), которая в каждой точке показывает скорость изменения f. Если f'(x) > 0, функция растёт, если f'(x) < 0, убывает.
Производная в точке x₀ — это число f'(x₀). Геометрически это угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой x₀. Физически, если S(t) — путь, то S'(t) — скорость, а вторая производная S''(t) — ускорение. Поэтому в заданиях про движение сначала находят S'(t), потом подставляют время.
Строго производная определяется через предел функции: это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Для решения заданий школьного курса определение почти не нужно, хватает таблицы и правил.
Формулы и правила, на которых строится почти всё
Таблица, которую нужно знать наизусть:
- (C)' = 0, где C — число
- (xⁿ)' = n × xⁿ⁻¹, например (x⁵)' = 5x⁴, (√x)' = 1/(2√x)
- (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x
- (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x
Правила для сумм, произведений и частных:
- (u + v)' = u' + v'
- (u × v)' = u'v + uv'
- (u / v)' = (u'v − uv') / v²
Для сложной функции производная считается «снаружи внутрь»: (f(g(x)))' = f'(g(x)) × g'(x). Например, (cos³x)' = 3cos²x × (−sin x) = −3cos²x × sin x. Сначала берёшь производную степени, потом умножаешь на производную того, что стоит внутри. Степени и корни перед дифференцированием удобно переписать по свойствам степеней.
Как решать: промежутки возрастания и убывания, экстремумы
Разберём функцию f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 1.
Шаг 1. Находим производную: f'(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x² − x − 2).
Шаг 2. Приравниваем к нулю: x² − x − 2 = 0, откуда x = −1 и x = 2. Это стационарные точки. Если уравнение вызывает трудности, загляни в квадратные уравнения.
Шаг 3. Отмечаем точки на числовой оси и определяем знак f' на каждом промежутке. При x = 0 получаем f'(0) = −12 < 0, значит, на отрезке между корнями знак минус, а по краям плюс.
Шаг 4. Записываем ответ: функция возрастает на (−∞; −1] и [2; +∞), убывает на [−1; 2].
Шаг 5. В точке x = −1 знак меняется с плюса на минус, это максимум: f(−1) = −2 − 3 + 12 + 1 = 8. В точке x = 2 знак меняется с минуса на плюс, это минимум: f(2) = 16 − 12 − 24 + 1 = −19.
Касательная строится так же коротко. Для f(x) = x² + 2x в точке x₀ = 1: f(1) = 3, f'(x) = 2x + 2, f'(1) = 4. Уравнение y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀) даёт y = 3 + 4(x − 1) = 4x − 1.
График производной: как понять, что изображено на рисунке
Самая частая путаница в заданиях вида «на рисунке изображен график производной функции» в том, что нарисована не сама функция, а её производная f'(x). Все выводы делаются по положению графика относительно оси x.
- График f' лежит выше оси x, значит, f возрастает.
- График f' лежит ниже оси x, значит, f убывает.
- График f' пересекает ось снизу вверх, это точка минимума f.
- График f' пересекает ось сверху вниз, это точка максимума f.
Если нужно найти значение производной в точке, читай ординату графика прямо в этой точке. Если нарисован график функции и касательная, а спрашивают f'(x₀), считай угловой коэффициент касательной: возьми две удобные точки на прямой и вычисли изменение y, делённое на изменение x. Знак смотри по направлению: касательная идёт вверх слева направо, значит, производная положительна.
Где ошибаются чаще всего
- Забывают умножить на производную внутренней функции. Для y = √(2x + 4) верно y' = 2 / (2√(2x + 4)) = 1 / √(2x + 4), а не просто 1 / (2√(2x + 4)).
- Дифференцируют произведение как произведение производных. (x × sin x)' = sin x + x cos x, а не 1 × cos x.
- Путают нуль производной с экстремумом. У f(x) = x³ производная в нуле равна нулю, но знак не меняется, поэтому экстремума нет. Всегда проверяй смену знака.
- Берут значение функции вместо значения производной. Для наибольшего значения на отрезке f' нужна только для поиска точек, а ответом служит значение самой f, в том числе на концах отрезка.
Какие задания по производной присылают ученики и как пользоваться страницей
Ученики 11 класса присылают задания на касательную, промежутки возрастания и убывания, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения на отрезке, точки перегиба, производную сложной функции, а также физические задачи на скорость, ускорение и силу. Встречаются и задания на график производной по рисунку.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения. Если подходящего нет, сфотографируй своё задание и получи решение с подробными шагами. Для функций с тригонометрией полезно держать рядом тригонометрические формулы, а обратная операция к дифференцированию разобрана в теме первообразная и интеграл.