Первообразная и неопределённый интеграл: в чём разница
Первообразная функции f(x) — это такая функция F(x), что F'(x) = f(x). Это действие, обратное нахождению производной. Например, для f(x) = 2x первообразная x², потому что (x²)' = 2x.
У функции не одна первообразная: x² + 5 и x² − 3 тоже подходят, ведь производная числа равна нулю. Поэтому записывают всё семейство: F(x) + C, где C — любая константа.
Неопределённый интеграл — это и есть это семейство:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Здесь ∫ — знак интеграла, f(x) — подынтегральная функция, dx — дифференциал переменной интегрирования, C — постоянная интегрирования. Так что запрос «первообразная и неопределённый интеграл» описывает почти одно и то же: первообразная — одна функция, интеграл — все сразу.
Свойства, которые нужны чаще всего:
- ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
- ∫ k × f(x) dx = k × ∫ f(x) dx, где k — число
- (∫ f(x) dx)' = f(x)
Формулы первообразных и правила
Таблицу полезно знать наизусть. Проверяется она просто: возьми производную от ответа и убедись, что получилась исходная функция.
- k → kx + C
- xⁿ → xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) + C, при n ≠ −1
- 1 ÷ x → ln|x| + C
- sin x → −cos x + C
- cos x → sin x + C
- 1 ÷ cos²x → tg x + C
- eˣ → eˣ + C
Дробь с x в знаменателе сначала переписывают через степень, см. свойства степеней: 1 ÷ x⁸ = x⁻⁸, значит первообразная равна x⁻⁷ ÷ (−7) = −1 ÷ (7x⁷).
Если внутри функции стоит линейное выражение kx + b, ответ делят на k:
F(kx + b) ÷ k, то есть для cos(3x + π) первообразная (1 ÷ 3) × sin(3x + π) + C.
По этому правилу верно равенство ∫ 1 ÷ cos²4x dx = ¼ tg 4x + C. Такие равенства часто дают в заданиях «верно или неверно». Тригонометрические значения при этом помогут вспомнить тригонометрические формулы.
Как найти первообразную, проходящую через точку
Задание: найти первообразную для f(x) = 7 − 6x² + 12x³, график которой проходит через точку M(2; −25).
Шаг 1. Находим общий вид первообразной по таблице, каждое слагаемое отдельно:
F(x) = 7x − 6 × x³ ÷ 3 + 12 × x⁴ ÷ 4 + C = 7x − 2x³ + 3x⁴ + C
Шаг 2. Подставляем координаты точки: x = 2, F = −25.
7 × 2 − 2 × 8 + 3 × 16 + C = −25 14 − 16 + 48 + C = −25 46 + C = −25, откуда C = −71
Шаг 3. Записываем ответ: F(x) = 3x⁴ − 2x³ + 7x − 71.
Проверка. F'(x) = 12x³ − 6x² + 7, это совпадает с f(x). В точке x = 2 значение F равно 46 − 71 = −25.
Определённый интеграл и площадь фигуры
Определённый интеграл от a до b — это число. Его считают по формуле Ньютона — Лейбница:
∫ от a до b f(x) dx = F(b) − F(a)
Константа C здесь не нужна: при вычитании она сокращается. Так определённый интеграл и первообразная связаны напрямую. Если f(x) ≥ 0 на отрезке [a; b], интеграл равен площади криволинейной трапеции под графиком.
Задание: найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² + 2, x = −2, x = 1 и осью x.
Шаг 1. На отрезке [−2; 1] выражение x² + 2 положительно, значит S = ∫ от −2 до 1 (x² + 2) dx.
Шаг 2. Первообразная: F(x) = x³ ÷ 3 + 2x.
Шаг 3. F(1) = 1 ÷ 3 + 2 = 7 ÷ 3. F(−2) = −8 ÷ 3 − 4 = −20 ÷ 3.
Шаг 4. S = 7 ÷ 3 − (−20 ÷ 3) = 27 ÷ 3 = 9.
Ответ: 9 кв. ед.
Если фигура зажата между двумя графиками, берут разность функций: S = ∫ от a до b (f(x) − φ(x)) dx, где f(x) — верхний график. Если график пересекает ось x, площадь считают по частям, а часть под осью берут со знаком минус.
Где ошибаются чаще всего
- Забывают C. В неопределённом интеграле и в ответе «найдите первообразную» константа обязательна. В определённом интеграле она не нужна.
- Не делят на коэффициент при x. Для (√2 − 6x)⁵ нельзя просто возвести в шестую степень и поделить на 6. Нужно ещё поделить на −6, и получится −(√2 − 6x)⁶ ÷ 36 + C.
- Применяют xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) при n = −1. Для 1 ÷ x формула не работает, ответ ln|x| + C.
- Путают порядок подстановки. Всегда F(b) − F(a), верхний предел минус нижний. Если пределы поменять местами, знак интеграла изменится.
- Считают площадь под осью как положительное число. Интеграл там отрицательный, поэтому перед ним ставят минус, как в формуле S = −∫ f(x) dx.
Проверка дифференцированием ловит почти все ошибки в первообразных. Для этого нужно уверенно владеть функциями и их свойствами и правилами производных.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего приходят три типа: найти первообразную по таблице (степени, синус, косинус, линейная замена), найти первообразную через заданную точку и вычислить площадь фигуры через интеграл. Встречаются и задания на сопоставление: подписать части формулы ∫ f(x) dx = F(x) + C, выбрать верные равенства, подобрать формулу площади к рисунку.
Посмотри список заданий выше: если там есть похожее, сравни ход решения со своим. Если нет, сфотографируй своё задание и отправь, чтобы получить решение с подробным ходом. Перед контрольной по первообразной и интегралам полезно самому разобрать по одному заданию каждого типа.