Предел функции, 11 класс: примеры с решением

Запись lim f(x) = A при x → a означает: чем ближе x к числу a, тем ближе значения f(x) к числу A. Сама точка a при этом не используется: функция в ней может быть не определена или иметь совсем другое значение.

Строгое определение даётся через ε и δ. Число A равно пределу функции при x → a, если для любого ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что для всех x с 0 < |x − a| < δ выполняется |f(x) − A| < ε. На практике по определению считают редко, чаще пользуются правилами и готовыми пределами.

Предел может быть и односторонним. Запись x → 2⁺ значит, что x подходит к 2 справа, x → 2⁻ значит слева. Если односторонние пределы разные, то предела в точке нет.

Предел равен A, если значения графика функции подходят к высоте A при приближении к a с обеих сторон. Поэтому в заданиях «предел графика функции» нужно смотреть, куда идёт линия слева и справа от точки, а не какое значение стоит в самой точке, где может быть выколотая точка. Например, у y = 1/x³ при x → ∞ предел равен 0, а у y = 1/x при x → +0 значения растут неограниченно, и пишут +∞.

Решение пределов функции начинается с подстановки числа в выражение. Если получилось обычное число, это и есть ответ: lim (x² + 3x − 5) при x → 0 равен −5.

Если подстановка даёт неопределённость, выражение нужно преобразовать. Свойства пределов функции позволяют считать по частям, если каждый предел существует:

• предел суммы равен сумме пределов;
• предел произведения равен произведению пределов;
• предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя не равен 0;
• постоянный множитель выносится за знак предела.

Что делать с неопределённостью:

• 0/0 с многочленами: разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общий множитель. Здесь нужны формулы сокращённого умножения и разложение на множители.
• 0/0 с корнями: умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.
• ∞/∞ при x → ∞: поделить числитель и знаменатель на старшую степень x. Если степени равны, ответ равен отношению старших коэффициентов: lim (3x² + x)/(5x² − 2) = 3/5. Если степень числителя меньше, предел равен 0, если больше, он бесконечен.
• 0/0 с тригонометрией: свести к первому замечательному пределу.

Найдём lim (x² − 9)/(x² − 5x + 6) при x → 3.

Шаг 1. Подставляем x = 3. В числителе 9 − 9 = 0, в знаменателе 9 − 15 + 6 = 0. Получилась неопределённость 0/0, значит, у числителя и знаменателя есть общий множитель (x − 3).

Шаг 2. Раскладываем числитель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

Шаг 3. Раскладываем знаменатель. Корни уравнения x² − 5x + 6 = 0 равны 2 и 3, поэтому x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Шаг 4. Сокращаем на (x − 3). Это можно делать, потому что при x → 3 значение x не равно 3, и множитель не нулевой. Остаётся (x + 3)/(x − 2).

Шаг 5. Подставляем x = 3: (3 + 3)/(3 − 2) = 6.

Ответ: 6.

Схема одна и та же для большинства подобных заданий: подставить, увидеть 0/0, разложить на множители, сократить, подставить снова.

В заданиях с синусом, тангенсом, степенью и числом e используют два готовых предела.

• Первый: lim sin x / x = 1 при x → 0. Отсюда же lim tg x / x = 1 и lim (1 − cos x) / x² = ½.
• Второй: lim (1 + 1/x)^x = e при x → ∞, где e ≈ 2,718. В общем виде lim (1 + k/x)^x = e^k.

Пример на первый предел: lim sin 5x / (2x) при x → 0. Домножаем и делим на 5, чтобы под синусом и в знаменателе оказалось одно и то же выражение: (sin 5x / 5x) × (5/2). Первая дробь стремится к 1, значит, ответ 5/2.

Нужные для таких заданий преобразования, например 1 − cos 2x = 2sin²x, есть в теме тригонометрические формулы. Сложные пределы, где при подстановке получается 1^∞, приводят ко второму замечательному пределу. Связь с пределами есть и у производной: она сама определяется как предел отношения приращений.

• Сокращают слагаемые вместо множителей. В дроби (x² − 9)/(x − 3) нельзя «сократить» x² и x. Сначала раскладывают на множители: (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3.
• Считают число, делённое на 0, равным нулю или числом. Если при x → 3 числитель стремится к 3, а знаменатель 2x − 6 к 0, предел не равен конечному числу. Справа получится +∞, слева −∞, значит, предела нет.
• Пишут 1^∞ = 1. Для lim (1 + 1/x)^x подстановка даёт 1^∞, но это неопределённость, и ответ равен e, а не 1.
• Применяют lim sin x / x = 1 при x → ∞ или в точке, не равной нулю. Этот предел верен только при x → 0. При x → ∞ значение sin x / x стремится к 0.
• Путают значение функции и предел. В точке a функция может быть не определена, а предел при этом существует. По графику ответ нужно искать по поведению слева и справа от точки.

Ученики 11 класса присылают разные вычисления: пределы дробей с многочленами при x → a и при x → ∞, неопределённость 0/0 с корнями, замечательные пределы с sin, tg, cos, степени вида (1 + …)^x, пределы последовательностей, а также задания по графику функции.

В списке выше найди задание, похожее на своё: по типу неопределённости и по виду выражения. Рядом с каждым выложен полный ход решения. Если подходящего нет, сфотографируй своё условие и получи решение с пошаговым ходом.