Формулы сокращённого умножения по алгебре: что надо знать в 7 классе
Это готовые результаты умножения скобок, которые выучивают, чтобы каждый раз не раскрывать всё подряд. Основных три, они проходят в 7 классе:
- квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²
- квадрат разности: (a − b)² = a² − 2ab + b²
- разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b)
Откуда берётся формула, видно на примере (a + 2)². Это (a + 2)(a + 2) = a² + 2a + 2a + 4 = a² + 4a + 4. Два одинаковых слагаемых 2a и дают удвоенное произведение 2ab.
Формулы для кубов обычно изучают позже, в 7–8 классе, а иногда и в 9:
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
- a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Перед кубами полезно повторить одночлены и многочлены и свойства степеней: без них трудно возводить в степень выражения вроде (2m²).
Как применить формулу: разбор задания по шагам
Упростим выражение (x + 5)(x − 1) − (x − 3)². Оно похоже на задания, которые присылают ученики, только числа другие.
Шаг 1. Раскрой первое произведение обычным способом: (x + 5)(x − 1) = x² − x + 5x − 5 = x² + 4x − 5.
Шаг 2. Вторую скобку раскрой по формуле квадрата разности. Здесь a = x, b = 3: (x − 3)² = x² − 6x + 9.
Шаг 3. Вычитай результат целиком, поэтому бери его в скобки и меняй все знаки: x² + 4x − 5 − (x² − 6x + 9) = x² + 4x − 5 − x² + 6x − 9.
Шаг 4. Приведи подобные: x² и −x² сокращаются, 4x + 6x = 10x, −5 − 9 = −14. Ответ: 10x − 14.
Главное, что нужно здесь: перед квадратом стоит минус, значит, меняются знаки у всех трёх слагаемых.
Примеры: вычисления и корни
Формулы помогают считать в уме. Чтобы найти 49², представь 49 как 50 − 1: (50 − 1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401. Чтобы найти 58 × 62, представь числа как 60 − 2 и 60 + 2: 3600 − 4 = 3596.
Так же работает разность квадратов с корнями. Для (√13 − √3)(√13 + √3) получаем 13 − 3 = 10, и раскрывать скобки по одной не нужно. Если корни вызывают трудности, загляни в тему квадратные корни.
Ещё одно полезное наблюдение: разность квадратов соседних чисел равна их сумме. Например, 10² − 9² = 100 − 81 = 19 = 10 + 9. Это следует из формулы: n² − (n − 1)² = (n − (n − 1))(n + (n − 1)) = 2n − 1.
Формулы справа налево: как свернуть трёхчлен
Часто нужно, наоборот, увидеть в выражении квадрат двучлена. Возьми 25a² − 20a + 4 и проверь три признака:
- Первый член — квадрат: 25a² = (5a)².
- Последний член — квадрат: 4 = 2².
- Средний член равен удвоенному произведению: 2 × 5a × 2 = 20a, а знак минус говорит о разности.
Значит, 25a² − 20a + 4 = (5a − 2)². Если хоть один признак не выполняется, это не полный квадрат.
Этот приём лежит в основе разложения на множители. Его же используют, чтобы выделить полный квадрат: x² + 8x + 20 = (x² + 8x + 16) + 4 = (x + 4)² + 4.
Где ошибаются чаще всего
- Пропускают удвоенное произведение. (x + 3)² ≠ x² + 9. Правильно: x² + 6x + 9.
- Путают знаки в квадрате разности. (z − 12)² = z² − 24z + 144. Последний член всегда с плюсом, потому что это квадрат числа. Варианты z² − 144 и z² + 144 неверны.
- Не возводят в квадрат коэффициент. (3x)² = 9x², а не 3x². Поэтому (2m + 1)² = 4m² + 4m + 1.
- Путают разность квадратов с квадратом разности. a² − b² = (a − b)(a + b), а (a − b)² = a² − 2ab + b². Это разные выражения.
Задания по теме на сайте
Ученики присылают разное: возведение в квадрат суммы и разности, вычисления вроде 77² и 79 × 81, упрощение выражений, значение дроби при заданных a и b, выбор верного ответа из вариантов. Встречаются и кубы, например разности вида (a − 2)(a² + 2a + 4). У каждого задания в списке выше есть полное решение с ходом. Найди похожее на своё и сверь шаги. Если такого нет, сфотографируй своё задание и получи решение с объяснением.