ГДЗ по учебникамГДЗ по фотоОтветы

Одночлены и многочлены, 7 класс: примеры с решением

Одночлены и многочлены: что это, как найти степень и привести к стандартному виду, как раскрывать скобки и перемножать. Ниже разбор задания и список частых ошибок.

34 задания7 класс
АлгебраКоротко о теме ↓
Алгебра8 классДеление многочлена на многочлен уголком

(x²+3x-4):(x+4)

Алгебра7 классРаскрытие скобок и упрощение выражений

а) (x - a) + (y + b); б) -(m + n) + (n - p) - (-p - m); в) (b - 4) - (-c + 7); г) (-m + 8) - (m - 4) + (-8 + m).

Алгебра7 классДеление алгебраических дробей

Упростите (в тексте задания обрезано начало, видно окончание слова «…обь:», вероятно «Представь в виде дроби / Упрости»): 49x⁵y² : 343x³y² =

Алгебра7 классУпрощение выражения и нахождение его значения

Упростите выражение и найдите его значение: -2(3,5y - 2,5) + 4,5y - 1 при y = 4/5.

Алгебра7 класс6 заданийУпрощение выражения

Упростите выражение и найдите его значение при x = 2: (3x - 5)(2x + 1) - 6x²

Алгебра7 классУпрощение выражения

5(x-2)-3x+22

Алгебра7 классУпрощение выражения, раскрытие скобок

18-4(5-4x)+13x-14

Алгебра7 классРаскрытие скобок и упрощение выражений

Упростить выражения: 1) 9(7x-6)-18x= 2) 7a-6(10-a)= 3) 5(x-4)-x+8= 4) 9-7(x+3)+5-6x= 5) 0,4(6-4y)-3,5+1,5y+1,9= 6) 3(x+6)-3x+12= 7) 18-4(5-4x)+13x-14= 8)…

Алгебра7 класс4 заданияРаскрытие скобок, упрощение выражений

Упростите выражение: а) 5 - (a - 3); б) 7 + (12 - 2b); в) 64 - (14 + 7x); г) 38 + (12p - 8).

Алгебра10 класс5 заданийДеление многочленов уголком

Разделите уголком многочлен A(x) на многочлен B(x), укажите неполное частное Q(x) и остаток R(x), если: а) A(x)=3x³-2x²+7x-4, B(x)=x²+x-2; б)…

Алгебра8 класс5 заданийРешение системы линейных уравнений

{2/3(x+y)=y-x+1; 5/8(3x-2y)=y-2}

Алгебра7 класс6 заданийРаскрытие скобок

Раскройте скобки: 1) а) k+(m+n); б) k-(m+n); в) -k-(m-n); г) k-(-m-n); 2) а) (x-y)+(a+b); б) (a-c)-(b-d); в) -a+(b-c)-(x-y); г) 25-(m-n)-(a-b).

Алгебра11 класс3 заданияДеление многочленов уголком

Выполните деление уголком: а) (x³-3x²+5x-16):(x²+5) б) (3x⁵+x⁴-6x³+7x):(x²+x)

Алгебра10 класс10 заданийРазложение на множители, группировка

9x³ - 18x = x - 2

Алгебра7 класс6 заданийЗначение выражения

Найдите значение выражения 4x+3y при x=-3/4, y=-1/6.

Алгебра7 класс3 заданияПриведение подобных слагаемых

Приведите подобные слагаемые: а) 8x - 6y + 7x - 2y; б) 27p + 14q - 16p - 3q;

Алгебра7 классУпрощение выражения и вычисление его значения

-0,5(7b-12a)-(8,4a-9,1b) при a=-10, b=-6.

Алгебра9 классДеление многочленов с остатком, теорема Безу

Многочлен P(x) при делении на x³+2x²-5x-6 дает в остатке x²+x-1. Найти P(-3)-P(2)-P(-1). Варианты ответа: 1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) 4; 5) 5.

Алгебра10 классОстаток при делении многочлена

Многочлен P(x) при делении на x³+2x²-5x-6 дает в остатке x²+x+1. Найти P(-3)-P(2)+P(-1). Варианты ответа: 1) 4; 2) 3; 3) 5; 4) 1; 5) 2.

Алгебра7 классУмножение многочленов, коэффициенты

При каком значении переменной p многочлен, тождественно равный произведению (x+p)(x³+x²-x+1) а) имеет коэффициент при x², равный 2; б) имеет коэффициент при…

Алгебра7 класс6 заданийКорни уравнений с модулем

Имеет ли уравнение корни и, если имеет, то сколько: а) x=1; б) x=0; в) x=-5; г) x=1,3? (Условие виден не весь край строки, смысл вопроса понятен.)

Алгебра9 класс10 заданийСтепени с одинаковыми показателями

Найдите значение выражения 24,4· 67,4126,4.

Алгебра7 класс2 заданияРаскрытие скобок и упрощение выражений

1) 3(x+1) - 1·(x+1) 2) (a-2) - 2(a-2) 3) 3(x+5) - 2(x-6) 4) 13(6b-1) - 6·(13b-1)

Алгебра9 классДеление многочленов нацело

Докажите, что многочлен A(x) делится нацело на многочлен B(x): 1) A(x) = x³ - 1, B(x) = x² + x + 1; 2) A(x) = 4x³ - 8x² + 5x - 1, B(x) = 2x² - 3x + 1; 3) A(x)…

Алгебра7 классЗначение выражения при заданных значениях переменных

а) 3(2x + y) - 4(2y - x), если x = 0,2, y = -2/5;

Алгебра7 классУмножение многочленов

(1-2x)·(1-3x)·(2x-1)

Алгебра7 классУмножение многочленов, коэффициенты

При каком значении переменной p многочлен, тождественно равный произведению (x - p)(x³ - x² - x + 1) а) имеет коэффициент при x³, равный 3; б) имеет…

Алгебра7 классПреобразование выражений в многочлен стандартного вида

Запишите выражение a²(a + 0,2)(0,2 - a) как многочлен стандартного вида

Алгебра7 класс4 заданияРазложение многочленов на множители

Разложите на множители: а) x⁴ - 25y²; б) 4b² - 0,01c⁶; в) 8a³ + c³; г) x⁹ - 27; д) 9ab² - 16ac²; е) -20xy³ + 45x³y.

Алгебра7 класс4 заданияЗначение выражения

Найдите значение выражения 2,5x − 3 при x = 0, x = −10.

Алгебра10 класс6 заданийРазложение многочленов на множители

Разложите многочлен на множители: а) y³ - 6 + 11y - 6y²; б) (y² + 1)b² - b⁴ - y².

Алгебра9 классКорни многочленов

Полиномы. Нахождение корней. p1 = 3 -4x +2x² p2 = -5 +3x +10x² p3 = 6 -15x +4x² p4 = 5 -7x +x² +9x³ p5 = 6 +2x +x² -4x³ p6 = 7 +5x +2x² +13x³ p7 = -1 +4x +9x²…

Алгебра7 классСтандартный вид многочлена. Однородность

Дан многочлен f(a,b) = 2ab2–11а2–ЗЬa2 +5ab2+7a2b + 4a(–1)ba — (a + b)ab. а) Приведите данный многочлен к стандартному виду. б) Установите, является ли данный…

Алгебра10 классДелимость многочлена

При каких значениях параметров а и Ь многочлен f(x) = 4x4–16x3+3x2+ax + b делится без остатка на многочлен g(x) = х2–4x +1?

Что такое одночлен и многочлен

Одночлен — выражение, в котором числа и буквы только перемножаются, возможно, со степенями. Примеры: 5x, −3a²b, x³, 12. Одно число и одна буква тоже считаются одночленами.

Многочлен — сумма одночленов. Например, 3x² − 5x + 1 состоит из трёх одночленов, которые называют членами многочлена. Многочлен из двух членов часто называют двучленом, из трёх — трёхчленом.

Одночлен можно считать частным случаем многочлена, в котором всего один член. В 7 классе эти темы идут вместе: сначала учатся записывать одночлены, потом складывать, вычитать и умножать многочлены.

Стандартный вид и степень одночлена и многочлена

Одночлен записан в стандартном виде, если на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а каждая буква встречается один раз, в виде степени. Выражение 3x × 2x²y приводится так: 3 × 2 = 6, x × x² = x³, получается 6x³y.

Степень одночлена — сумма показателей всех его букв. У 6x³y степень 3 + 1 = 4. У числа без букв степень равна нулю.

Многочлен приводят к стандартному виду в два шага: каждый член записывают в стандартном виде, затем складывают подобные слагаемые. Подобные — те, у которых одинаковая буквенная часть: 4ab² и −ab² подобные, а 4ab² и 4a²b нет.

Степень многочлена — наибольшая из степеней его членов после приведения к стандартному виду. В многочлене 5x³ − 2x²y² + 7 степени членов равны 3, 4 и 0, поэтому степень многочлена 4.

Свойства, на которых это держится, собраны в теме свойства степеней.

Действия с одночленами и многочленами

Сложение и вычитание. Если перед скобкой стоит плюс, скобки просто убирают. Если минус, у каждого члена внутри меняют знак: 7 − (x − 3) = 7 − x + 3 = 10 − x. Потом приводят подобные слагаемые.

Произведение одночлена и многочлена. Одночлен умножают на каждый член многочлена и результаты складывают:

2x(x² − 3x + 4) = 2x³ − 6x² + 8x

Произведение многочленов. Каждый член первого умножают на каждый член второго, затем приводят подобные:

(x + 2)(x² − 3x + 1) = x³ − 3x² + x + 2x² − 6x + 2 = x³ − x² − 5x + 2

Если в одном многочлене 3 члена, а в другом 2, до приведения подобных получится 6 слагаемых. Это удобная проверка: не потерял ли ты что-то по дороге.

Когда многочлен надо, наоборот, собрать в произведение, пригодятся формулы сокращённого умножения и разложение на множители. В старших классах к этому добавляются деление многочлена на многочлен уголком, схема Горнера и теорема Безу: остаток от деления P(x) на (x − a) равен P(a).

Разбор задания: упростить выражение и найти значение

Задание. Упростите выражение 2(3x − 5) − 4(x − 2) + 7 и найдите его значение при x = 1,5.

Шаг 1. Раскрываем скобки. Первое слагаемое: 2 × 3x = 6x и 2 × (−5) = −10. Перед второй скобкой стоит −4, поэтому умножаем на −4 оба члена: −4 × x = −4x и −4 × (−2) = +8.

Получаем: 6x − 10 − 4x + 8 + 7.

Шаг 2. Приводим подобные. Слагаемые с x: 6x − 4x = 2x. Числа: −10 + 8 + 7 = 5.

Упрощённое выражение: 2x + 5.

Шаг 3. Подставляем значение. При x = 1,5 получаем 2 × 1,5 + 5 = 3 + 5 = 8.

Ответ: 2x + 5; значение равно 8. Подставлять число лучше в уже упрощённое выражение, так меньше шансов ошибиться. Если нужно найти x из уравнения, дальше пригодятся линейные уравнения.

Где ошибаются чаще всего

  • Знак при раскрытии скобок. В выражении 5a − (3a − 4) минус действует на оба члена: получается 5a − 3a + 4 = 2a + 4, а не 2a − 4. Аналогично −3(x − 2) = −3x + 6, а не −3x − 6.
  • Умножили не на все члены. В 2x(x² − 3x + 4) последнее слагаемое легко потерять. Проверяй: сколько членов было в скобке, столько должно быть в ответе.
  • Складывают неподобные слагаемые. 3x² + 2x нельзя заменить на 5x³ или 5x²: у слагаемых разные степени. Это остаётся двучленом.
  • Путают сложение и умножение степеней. x + x = 2x, но x × x = x². А x × x² = x³: показатели при умножении складываются.

Какие задания по теме присылают ученики

Чаще всего это раскрытие скобок со знаками плюс и минус, приведение подобных слагаемых, упрощение выражений и нахождение их значения при заданном x. Встречаются умножение многочленов, преобразование в многочлен стандартного вида, доказательства тождеств и задачи на коэффициенты. Старшеклассники присылают деление многочленов, остаток, схему Горнера и подбор корня.

Найди похожее задание в списке выше: у каждого есть полный ход решения. Если своего нет, сфотографируй условие и получи решение с пояснением каждого шага.

Частые вопросы

Чем одночлен отличается от многочлена?

Одночлен — это одно произведение чисел и букв, например 4a²b. Многочлен — сумма нескольких таких одночленов, например 4a²b − 3a + 1.

Как найти степень многочлена?

Приведи многочлен к стандартному виду, найди степень каждого члена как сумму показателей его букв и возьми наибольшую. У x³ + 2x²y² − 5 степени членов 3, 4 и 0, степень многочлена 4.

Как найти произведение одночлена и многочлена?

Умножь одночлен на каждый член многочлена, учитывая знаки, и сложи результаты. Например, −3x(2x − 5) = −6x² + 15x.

Что значит привести многочлен к стандартному виду?

Записать каждый член в стандартном виде и сложить подобные слагаемые, чтобы в многочлене не осталось одинаковых буквенных частей.

Одночлены и многочлены, 7 класс: примеры с решением | ДЗмэн