Что такое система уравнений и что значит её решить
В системе записано два или больше уравнений, и каждое содержит неизвестные, например x и y. Слева их объединяет фигурная скобка. Решение системы — набор чисел, который подходит сразу ко всем уравнениям.
Для системы с двумя неизвестными решение записывают парой в скобках: (4; 3). Первым ставят x, вторым y. Если уравнений два, а неизвестных две, чаще всего пара получается одна.
С системой 2 уравнений ты встречаешься в 7 классе, потом она усложняется. В 8–9 классах появляются уравнения второй степени, дроби и системы с тремя неизвестными. Текстовые задачи про цены, скорость и растворы тоже обычно сводятся к такой системе.
Методы системы уравнений: подстановка и сложение
Основная идея любого метода: избавиться от одного неизвестного и получить обычное линейное уравнение с одной переменной.
Способ подстановки. Выбери уравнение, где легко выразить одну переменную (лучше та, у которой коэффициент 1 или −1). Подставь это выражение в другое уравнение. Найди первую переменную, потом вторую.
Способ сложения. Уравнения складывают или вычитают почленно, чтобы одна переменная исчезла. Если коэффициенты при ней разные, сначала умножь одно или оба уравнения на подходящие числа.
Как выбрать способ:
- есть переменная с коэффициентом 1 — удобна подстановка;
- коэффициенты равны или противоположны (2y и −2y) — удобно сложение;
- одно уравнение линейное, другое второй степени — подстановка почти всегда.
Так же решают систему линейных уравнений с тремя неизвестными: из двух пар уравнений убирают одну и ту же переменную и получают систему из двух уравнений. Системы из четырёх уравнений решают тем же исключением неизвестных, только шагов больше.
Реши систему уравнений: разбор по шагам
Возьмём систему: 2x + y = 11 и x − 3y = −5.
- Во втором уравнении у x коэффициент 1, выражаем его: x = 3y − 5.
- Подставляем в первое: 2(3y − 5) + y = 11.
- Раскрываем скобки: 6y − 10 + y = 11, значит 7y = 21 и y = 3.
- Находим x: x = 3 × 3 − 5 = 4.
- Проверяем в обоих уравнениях: 2 × 4 + 3 = 11 верно, 4 − 3 × 3 = −5 верно.
Ответ: (4; 3).
Теперь способ сложения: 3x + 2y = 16 и 5x − 2y = 16. Слагаемые 2y и −2y противоположны, поэтому складываем уравнения: 8x = 32, x = 4. Подставляем в первое: 12 + 2y = 16, y = 2. Ответ: (4; 2).
Системы второй степени, с дробями и текстовые задачи
Если одно уравнение линейное, а другое содержит x², xy или y², выражай переменную из линейного и подставляй. Например, x + y = 5 и xy = 6. Из первого y = 5 − x, тогда x(5 − x) = 6, то есть x² − 5x + 6 = 0. Это квадратное уравнение с корнями x = 2 и x = 3. Получаем две пары: (2; 3) и (3; 2).
В системах с дробями сначала запиши, какие значения нельзя брать: знаменатель не должен быть равен нулю. Потом приводи к общему знаменателю, как в алгебраических дробях. Корни, которые обращают знаменатель в ноль, отбрасывай.
В текстовых задачах за x и y обозначь то, что спрашивают: цену тетради и ручки, скорость катера и течения, массы двух растворов. Каждое условие даёт одно уравнение. В задаче про катер, например, скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения, а против течения — разности.
Где ошибаются чаще всего
- Знак при вычитании уравнений. Вычитая x − 3y = 13 из 4x + 5y = 18, нужно вычесть все члены: −3y превращается в +3y. Если сомневаешься, умножь одно уравнение на −1 и складывай.
- Забывают вторую переменную. Найдя y, многие записывают ответ. Но нужна пара, значит, найди ещё x и проверь подстановкой.
- Теряют вторую пару решений. В системе со вторым уравнением степени 2 решений часто два. Если квадратное уравнение дало два корня, у каждого свой y.
- Путают порядок в ответе. Пара записывается как (x; y). Если в задаче переменные названы иначе, смотри на алфавитный порядок или на условие.
- Не проверяют знаменатели. В системах с дробями корень, при котором знаменатель равен нулю, не подходит.
Какие задания присылают ученики
Чаще всего присылают системы двух линейных уравнений, которые решают подстановкой или сложением. Реже встречаются системы с тремя неизвестными, уравнения второй степени вместе с линейным, системы с дробями и параметром. Отдельная группа — текстовые задачи про цены, движение по реке, растворы и площадь треугольника.
Посмотри список заданий выше и найди похожее по виду уравнений. Если нужного нет, сфотографируй своё задание и получи решение с ходом. Сверяй каждый шаг со своими записями, чтобы понять, где получилось иначе.