Что такое комплексные числа и алгебраическая форма
Комплексное число записывают как z = a + bi, где a и b — обычные вещественные числа, а i — мнимая единица, для которой i² = –1. Число a называют вещественной частью, b — мнимой. Для 4 – 7i вещественная часть равна 4, мнимая –7.
Такая запись и есть алгебраическая форма комплексного числа. Комплексные числа появились, чтобы у любого квадратного уравнения были корни, даже если дискриминант отрицательный.
На плоскости число a + bi изображают точкой (a; b). По горизонтали откладывают вещественную часть, по вертикали мнимую. Число –3 + 5i — это точка (–3; 5).
Степени i повторяются через четыре шага: i¹ = i, i² = –1, i³ = –i, i⁴ = 1. Чтобы найти i⁴³, делят 43 на 4 и смотрят остаток: он равен 3, значит i⁴³ = –i.
Комплексные числа: формулы действий
Все действия выполняются как с обычными скобками, только i² заменяют на –1.
- Сложение и вычитание: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
- Умножение: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.
- Сопряжённое число к a + bi — это a – bi. Меняется знак только у мнимой части.
- Модуль комплексного числа: |z| = √(a² + b²). Это расстояние от начала координат до точки z.
- Деление: числитель и знаменатель умножают на число, сопряжённое знаменателю.
Произведение числа на сопряжённое всегда вещественное: (a + bi)(a – bi) = a² + b². Это обычная формула сокращённого умножения для разности квадратов. Например, (7 – 6i)(7 + 6i) = 49 + 36 = 85. Квадрат суммы работает так же: (8 + 7i)² = 64 + 112i + 49i² = 15 + 112i.
Как разделить комплексные числа: разбор по шагам
Разделим (5 + i) на (2 + 3i).
- Знаменатель 2 + 3i, сопряжённое к нему 2 – 3i. Умножаем на него и числитель, и знаменатель.
- Числитель: (5 + i)(2 – 3i) = 10 – 15i + 2i – 3i² = 10 – 13i + 3 = 13 – 13i.
- Знаменатель: (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 + 9 = 13.
- Делим: (13 – 13i) / 13 = 1 – i.
Проверка умножением: (1 – i)(2 + 3i) = 2 + 3i – 2i – 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i. Получилось исходное число, значит ответ верный.
Если знаменатель вещественный, как в конце этого примера, дробь просто делится почленно.
Тригонометрическая форма, аргумент и степени комплексных чисел
Если у точки z = a + bi расстояние до начала координат равно r = |z|, а угол между осью вещественных чисел и лучом к точке равен φ, то z = r(cos φ + i sin φ). Это тригонометрическая форма комплексного числа, угол φ называют аргументом комплексного числа. В показательной форме то же число пишут как z = r × e^(iφ).
Пример: z = –2 + 2√3 i.
- Модуль: r = √(4 + 12) = 4.
- Косинус: cos φ = –2 / 4 = –½, синус: sin φ = 2√3 / 4 = √3/2. Такие значения у угла 2π/3 (120°) на числовой окружности.
- Ответ: z = 4(cos 2π/3 + i sin 2π/3) = 4e^(i2π/3).
В этой форме удобно умножать, делить и возводить в степень. При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении модули делятся, а аргументы вычитаются. Для степеней действует формула Муавра: zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Значения синусов и косинусов подскажут тригонометрические формулы.
Корень n-й степени из комплексного числа имеет ровно n значений: аргументы равны (φ + 2πk) / n при k = 0, 1, …, n – 1, а модуль равен корню n-й степени из r. Про обычные корни можно прочитать в теме корень n-й степени.
Квадратные уравнения с комплексными корнями
Если дискриминант отрицательный, используют √(–D) = i√D. Решим x² + 3x + 4 = 0.
D = 9 – 16 = –7. Тогда √D = i√7, и x = (–3 ± i√7) / 2. Корни получаются сопряжёнными: –3/2 + (√7/2)i и –3/2 – (√7/2)i.
Общий ход такой же, как в теме квадратные уравнения. Различие в том, что отрицательный дискриминант больше не означает «корней нет».
Где ошибаются чаще всего
- i² принимают за 1. Правильно i² = –1. Из-за этого теряется знак в каждом произведении, например (3 – 2i)(3 + 2i) = 9 + 4 = 13, а не 9 – 4.
- В квадрате суммы забывают удвоенное произведение. (6 – 4i)² не равно 36 + 16i². Правильно: 36 – 48i + 16i² = 20 – 48i.
- Аргумент ищут только через арктангенс. Для z = –2 + 2√3 i арктангенс отношения b/a даёт –π/3, но точка лежит во второй четверти. Нужно проверить знаки косинуса и синуса, и правильный угол 2π/3.
- При делении умножают только знаменатель. Домножать на сопряжённое нужно и числитель, иначе значение дроби изменится.
- В сопряжённом числе меняют знак у обеих частей. Сопряжённое к 4 – 7i равно 4 + 7i, а не –4 + 7i.
Какие задания по теме присылают ученики
На странице собраны задания из 11 класса: действия с комплексными числами, деление, изображение чисел на плоскости, квадратные уравнения с комплексными корнями, системы уравнений с комплексными неизвестными, разложение многочлена на множители, запись числа в тригонометрической и показательной формах, степени и корни.
Найди в списке выше задание, похожее на своё, и сравни ход решения со своими вычислениями. Если похожего нет, сфотографируй условие и получи решение по шагам. Для систем уравнений пригодится ещё и тема системы уравнений.