Что такое корень n-й степени из числа
Корень n-й степени из числа a — это число, которое после возведения в степень n даёт a. Записывают так: ⁿ√a, где n — натуральное число, n ≥ 2. Число n называют показателем корня, а a — подкоренным выражением. При n = 2 и n = 3 получаются квадратный и кубический корни, про первый подробнее на странице квадратные корни.
Примеры: ³√125 = 5, потому что 5³ = 125. ⁴√81 = 3, потому что 3⁴ = 81.
Арифметический корень n-й степени из числа a ≥ 0 — это неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Именно его обозначает знак ⁿ√a в школьных заданиях. Поэтому ⁴√81 = 3, а не ±3, хотя уравнение x⁴ = 81 имеет два решения: 3 и −3.
Полезно помнить маленькую таблицу корней: 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 5³ = 125, 10³ = 1000. С ней большинство числовых примеров считается устно.
Корень из действительного числа: чётный и нечётный показатель
Что можно извлечь, зависит от чётности n.
- n чётное (√, ⁴√, ⁶√). Корень определён только при a ≥ 0 и сам неотрицателен. Выражений ⁴√(−16) или √(−5) среди действительных чисел не существует.
- n нечётное (∛, ⁵√). Корень существует из любого числа и единственный. Его знак совпадает со знаком подкоренного числа: ∛(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8.
Корень из нуля равен нулю при любом n, а корень из единицы равен единице. В уравнении xⁿ = 1 при чётном n два решения, 1 и −1, при нечётном только одно: x = 1.
То же видно на графике функции y = ⁿ√x. При чётном n она определена при x ≥ 0, принимает значения y ≥ 0 и возрастает. При нечётном n она определена для всех x, возрастает и нечётна: ⁿ√(−x) = −ⁿ√x. Общие понятия, которыми пользуются при построении, собраны на странице функции и их свойства.
Свойства корней n-й степени: формулы
Пусть a ≥ 0, b ≥ 0, а n и k — натуральные числа, большие 1. Тогда:
- ⁿ√(a × b) = ⁿ√a × ⁿ√b
- ⁿ√(a ÷ b) = ⁿ√a ÷ ⁿ√b, при b > 0
- (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ)
- ᵏ√(ⁿ√a) = ⁿᵏ√a
- ⁿᵏ√(aᵏ) = ⁿ√a — показатель корня и показатель степени под ним можно одновременно сократить или умножить на одно число
Отдельно запомни ⁿ√(aⁿ). Для нечётного n это просто a. Для чётного n это |a|: например, ⁴√((−3)⁴) = ⁴√81 = 3.
Связь со степенями такая: при a > 0 выполняется a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Например, a^(1/3) = ∛a, а a^(2/3) = ∛(a²). Любое выражение с корнями можно записать степенями и дальше работать по свойствам степеней. Для корней с разными показателями это почти всегда самый короткий путь.
Как упрощать выражения с корнями: разбор по шагам
Задание. Упростить ∛a × √a ÷ ⁶√a при a > 0.
- Запишем корни степенями: a^(1/3) × a^(1/2) ÷ a^(1/6).
- При умножении показатели складываются: 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6.
- При делении вычитаются: 5/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.
- Возвращаемся к корню: a^(2/3) = ∛(a²).
Ответ: ∛(a²).
Ещё два приёма, которые часто нужны.
Корни с разными показателями приводят к общему. Например, ¹²√81 × ⁶√81: так как ⁶√81 = ¹²√(81²), произведение равно ¹²√(81³). Но 81 = 3⁴, поэтому 81³ = 3¹², и ответ ¹²√(3¹²) = 3.
Множитель выносят из-под знака корня, выделяя в подкоренном числе полную степень: ∛54 = ∛(27 × 2) = 3∛2. Для переменных работает то же правило: ∛(2x⁶) = x² × ∛2, потому что x⁶ = (x²)³.
Где ошибаются чаще всего
Корень суммы считают как сумму корней. Равенство ⁿ√(a + b) = ⁿ√a + ⁿ√b неверно. Проверка: √(9 + 16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Свойства работают для произведения и частного, но не для суммы и разности.
Забывают про модуль. ⁴√(x⁴) равно |x|, а не x. Если x = −2, то ⁴√16 = 2, а не −2.
Ищут отрицательный результат у чётного корня. Уравнение √x = −5 не имеет решений, потому что арифметический корень не бывает отрицательным. Такие случаи встречаются и в иррациональных уравнениях и неравенствах, где после возведения обеих частей в степень обязательна проверка. Например, в √(1 − 2x) = x − 5 после возведения в квадрат получается x² − 8x + 24 = 0 с отрицательным дискриминантом, так что решений нет.
Складывают показатели корней. ∛a × √a не равно ⁵√a. Сначала переходи к степеням, как в разборе выше: получится a^(5/6) = ⁶√(a⁵).
Какие задания по теме присылают ученики
В 10 классе по этой теме чаще всего встречаются вычисления вида ¹²√81 × ⁶√81, вынесение множителя из-под знака корня (∛16, ∛54, ∛(8m²)), упрощение выражений со степенями с рациональным показателем и простые иррациональные уравнения и неравенства. Есть и задания на степень с иррациональным показателем, и тесты с выбором ответа.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения: обрати внимание, как корни переводят в степени и как проверяют ответ. Если похожего нет, сфотографируй своё условие и получи решение с пояснением каждого шага.