Тригонометрические уравнения: что это и где встречаются
Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная стоит под знаком sin, cos, tg или ctg. Например, cos x = ½ или 2sin²x + sin x − 1 = 0. Их проходят в 10–11 классах, а в профильном ЕГЭ по математике такое уравнение даётся отдельным заданием: сначала нужно его решить, потом отобрать корни на заданном отрезке.
Главное отличие от привычных уравнений: корней бесконечно много, потому что синус и косинус повторяют значения через 2π. Поэтому ответ записывают серией, например x = π/3 + 2πn, где n — любое целое число.
Прежде чем решать, полезно держать перед глазами числовую окружность: по ней видно, в каких точках синус или косинус принимает нужное значение.
Простейшие тригонометрические уравнения: формулы
Любое сложное уравнение в конце сводится к простейшим. Вот их решения, n — целое число:
- cos x = a, |a| ≤ 1: x = ±arccos a + 2πn
- sin x = a, |a| ≤ 1: x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn (это две серии, их можно записать одной формулой x = (−1)^k × arcsin a + πk)
- tg x = a: x = arctg a + πn
- ctg x = a: x = arcctg a + πn
Если |a| > 1, у уравнений sin x = a и cos x = a корней нет: синус и косинус не выходят за промежуток от −1 до 1.
Частные случаи тригонометрических уравнений лучше помнить наизусть, они проще общей формулы:
- sin x = 0: x = πn; sin x = 1: x = π/2 + 2πn; sin x = −1: x = −π/2 + 2πn
- cos x = 0: x = π/2 + πn; cos x = 1: x = 2πn; cos x = −1: x = π + 2πn
Пример: cos x = −√3/2. Здесь arccos(−√3/2) = 5π/6, поэтому x = ±5π/6 + 2πn. Отрицательное значение a не пугает: arccos(−a) = π − arccos a.
Как решать тригонометрические уравнения: разбор с отбором корней
Возьмём типичное задание: решить уравнение 2sin²x + sin x − 1 = 0 и найти корни на отрезке [0; 2π].
Шаг 1. Замена. Пусть t = sin x. Получается квадратное уравнение 2t² + t − 1 = 0, его решают как любое квадратное уравнение.
Шаг 2. Корни по t. D = 1 + 8 = 9, t = (−1 ± 3) / 4. Значит, t = ½ или t = −1. Оба значения подходят, потому что лежат в промежутке [−1; 1].
Шаг 3. Возврат к x.
- sin x = ½: x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn
- sin x = −1: x = −π/2 + 2πn
Шаг 4. Отбор на [0; 2π]. Для серии x = π/6 + 2πn решаем неравенство 0 ≤ π/6 + 2πn ≤ 2π. Делим на π и получаем −1/12 ≤ n ≤ 11/12, подходит только n = 0, корень π/6. Аналогично для 5π/6 + 2πn берём n = 0, корень 5π/6. Для −π/2 + 2πn подходит n = 1, корень 3π/2.
Ответ: π/6, 5π/6, 3π/2 (общее решение — три серии из шага 3).
Классы тригонометрических уравнений и как к ним подходить
Почти все задания укладываются в несколько классов. Сначала определи, к какому относится твоё.
- Простейшие. Сразу формула из раздела выше. Если под синусом стоит не x, а, например, 5πx/9, решай относительно всего аргумента, потом выражай x.
- Сводящиеся к квадратным. Одна функция в разных степенях: cos²x − cos x − 2 = 0. Замена t = cos x, затем проверка, что |t| ≤ 1.
- Разные функции или углы. Сначала приведи к одной функции и одному углу с помощью тригонометрических формул: формулы приведения, двойного угла, основное тождество sin²x + cos²x = 1.
- Однородные. В каждом слагаемом одинаковая суммарная степень sin и cos: 2sin²x + 3sin x cos x − 2cos²x = 0. Делим на cos²x, получаем 2tg²x + 3tg x − 2 = 0, откуда tg x = ½ или tg x = −2. Деление законно, так как при cos x = 0 исходное равенство даёт 2 = 0, то есть такие x не корни.
- Разложение на множители. Перенеси всё в одну часть и вынеси общий множитель, затем каждый множитель приравняй к нулю.
- Оценка значений. Уравнение вида sin 2x × sin 4x = −1 возможно, только если один множитель равен 1, а другой −1, потому что каждый по модулю не больше 1. Тогда нужно проверить, бывает ли это одновременно.
- С логарифмом или корнем. Сначала выпиши ограничения (ОДЗ), например для логарифмов аргумент должен быть больше нуля, и только потом отбирай корни.
Где ошибаются чаще всего
Теряют вторую серию у синуса. Из sin x = ½ получается и π/6 + 2πn, и 5π/6 + 2πn. Если записал только arcsin, половина корней потеряна.
Сокращают на общий множитель. В уравнении sin x cos x = sin x нельзя делить на sin x: пропадёт серия x = πn. Правильно: sin x (cos x − 1) = 0, откуда sin x = 0 или cos x = 1.
Не проверяют значения после замены. Если после t = sin x получилось t = 3, это значение отбрасывают: sin x = 3 корней не имеет. Из-за этого в ответ часто попадают лишние серии.
Путают период. У синуса и косинуса период 2π, у тангенса и котангенса — π. Запись tg x = 1, x = π/4 + 2πn неверна, правильно x = π/4 + πn.
Ошибаются при отборе. Корни серии нужно подставлять с целыми n и сверять с границами отрезка, а не угадывать по рисунку. Проверь и крайние значения: концы отрезка в ответ входят, если отрезок закрытый.
Какие задания присылают ученики и как пользоваться страницей
По теме на сайте 43 задания, в основном из 11 класса. Чаще всего это задания формата ЕГЭ: решить уравнение и отобрать корни на отрезке вроде [−4π; −5π/2], в том числе с формулами приведения и двойного угла. Встречаются простейшие уравнения cos x = ½, cos x = 0, cos x = −√3/2, задания на подбор уравнения к рисунку с единичной окружностью, графическое решение, уравнения с ответом вроде «наименьший положительный корень» и задания с оценкой значений или логарифмом.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения: обрати внимание на замену и на то, как отбираются корни. Если похожего нет, сфотографируй своё задание и отправь, ты получишь решение с пошаговым ходом.