Числовая окружность, 10 класс: примеры с решением

Числовая окружность — окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Её длина равна 2π. Начало отсчёта — точка (1; 0), она соответствует числу 0.

Число t на окружности находят так: от начальной точки идут по окружности на расстояние |t|. Если t положительное, идут против часовой стрелки. Если отрицательное, идут по часовой. Где остановились, та точка и соответствует числу t.

Окружность делится осями на четыре четверти:

• I четверть: от 0 до π/2;
• II четверть: от π/2 до π;
• III четверть: от π до 3π/2;
• IV четверть: от 3π/2 до 2π.

После полного оборота числа начинают повторяться: t и t + 2π — это одна и та же точка. На этом держится почти вся тема.

Запомни, где лежат основные точки. Полезно сразу держать в голове градусы: так проще представить себе угол.

• π/6 = 30°, π/4 = 45°, π/3 = 60°, π/2 = 90°;
• 2π/3 = 120°, 3π/4 = 135°, 5π/6 = 150°, π = 180°;
• 7π/6 = 210°, 5π/4 = 225°, 4π/3 = 240°, 3π/2 = 270°;
• 5π/3 = 300°, 7π/4 = 315°, 11π/6 = 330°, 2π = 360°.

Знаменатель подсказывает, на сколько равных частей разбита половина окружности. Знаменатель 6 даёт шаги по 30°, знаменатель 4 — по 45°, знаменатель 3 — по 60°. Числитель говорит, сколько таких шагов надо сделать.

Точки с другими знаменателями получают делением пополам. Например, π/12 — это половина дуги π/6, то есть 15°. А π/8 — половина дуги π/4, то есть 22,5°.

Условие: обозначь на числовой окружности точку, которая соответствует числу 11π/3.

Шаг 1. Понять, сколько это оборотов. Один оборот — 2π, то есть 6π/3. Число 11π/3 больше, но меньше двух оборотов (12π/3).

Шаг 2. Убрать целый оборот: 11π/3 − 2π = 11π/3 − 6π/3 = 5π/3. Это та же самая точка.

Шаг 3. Найти 5π/3 по таблице: это 300°, то есть IV четверть. Можно рассуждать и иначе: 5π/3 = 2π − π/3, значит, до полного оборота не хватает π/3.

Шаг 4. Отметить точку. Иди от точки 0 против часовой стрелки на 300° или, что быстрее, назад по часовой на 60° от точки 0.

С отрицательными числами то же самое, только направление другое. Для −π/4 идёшь по часовой на 45°. Получится точка, которая совпадает с 7π/4.

Если в числе нет π, сравнивай его с опорными значениями. Для этого помни, что π ≈ 3,14, π/2 ≈ 1,57, 3π/2 ≈ 4,71, 2π ≈ 6,28.

• Число 2 больше π/2 (1,57), но меньше π (3,14). Точка во II четверти, посередине между π/2 и π.
• Число 3 чуть меньше π. Точка во II четверти, совсем рядом с точкой π.
• Число 4 больше π, но меньше 3π/2 (4,71). Точка в III четверти. Она чуть дальше 5π/4 ≈ 3,93.
• Число 6 чуть меньше 2π. Точка в IV четверти, рядом с началом отсчёта.

Для точного рисунка не нужно переводить в градусы. Достаточно правильно выбрать четверть и показать, ближе точка к какому краю этой четверти.

Раз после каждого оборота точка повторяется, у одной точки бесконечно много чисел. Их записывают одной формулой: берут любое число для этой точки и добавляют 2πk, где k — целое число.

Например, для точки π/6 ответ такой: t = π/6 + 2πk, k ∈ Z. Подставь k = 1 и получишь 13π/6, подставь k = −1 и получишь −11π/6. Обе точки совпадают с π/6.

Если отмечены две противоположные точки (концы одного диаметра), их объединяют в одну формулу с шагом π. Для точек π/6 и 7π/6 ответ: t = π/6 + πk. Для четырёх точек π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, которые идут через равные промежутки, шаг равен π/2: t = π/4 + πk/2.

Это основа для тригонометрических уравнений, где ответ всегда пишется в таком виде. А значения синуса и косинуса в этих точках пригодятся в тригонометрических формулах.

• Путают направление. Положительные числа откладывают против часовой стрелки, отрицательные — по часовой. Точка −π/2 лежит внизу (это 3π/2), а не вверху.
• Не убирают лишние обороты. В числах вроде 10π или 7π/2 сначала вычти 2π нужное число раз. 10π = 5 × 2π, это точка 0. 7π/2 − 2π = 3π/2.
• Принимают число 3 за π. Они близки, но 3 < π ≈ 3,14. Точка 3 стоит чуть раньше точки π.
• Забывают k в ответе. Если просят найти все числа, одного значения мало. Нужна запись вида π/3 + 2πk, k ∈ Z.
• Путают соседние дроби. 2π/3 равно 120°, а 3π/4 равно 135°. Они близки, но это разные точки, поэтому сверяйся с таблицей градусов.

Ученики 10 класса присылают два типа заданий. В одних надо отметить на числовой окружности точку по числу: π/3, 5π/6, −π/4, 7π/2, а также числа без π вроде 3 или 4. В других на рисунке уже отмечены точки, и нужно записать все соответствующие им числа.

Открой список заданий выше и найди похожее на своё. У каждого есть полный ход решения. Если своего нет, сфотографируй условие и получи решение по шагам.