Арифметическая прогрессия, 9 класс: примеры с решением

Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d. Это число называют разностью прогрессии.

Примеры: 3, 7, 11, 15, ... (d = 4) и 20, 17, 14, 11, ... (d = −3). Если d > 0, числа растут, если d < 0, убывают. Разность находят вычитанием: d = a₂ − a₁ или вообще d = a(n+1) − a(n).

Встречается тема в девятом классе и в задачах про деньги, расстояния и расписания: выручка растёт на одну и ту же сумму каждый месяц, автомобиль при торможении проезжает за каждую секунду на несколько метров меньше, доза лекарства увеличивается на одинаковое число капель.

Чтобы найти любой член арифметической прогрессии, не нужно выписывать все предыдущие:

a(n) = a₁ + (n − 1) × d

Здесь a₁ — первый член, d — разность, n — номер члена. Смысл простой: чтобы дойти от первого члена до n-го, нужно сделать (n − 1) шагов по d.

Из этой формулы выражают и остальное. Первый член арифметической прогрессии: a₁ = a(n) − (n − 1) × d. Например, если a₅ = 17 и d = 3, то a₁ = 17 − 4 × 3 = 5. Разность: d = (a(n) − a₁) ÷ (n − 1).

Есть и удобное свойство: любой член, кроме первого, равен среднему арифметическому соседних: a(n) = (a(n−1) + a(n+1)) ÷ 2. Оно помогает, когда даны три числа подряд и нужно найти неизвестное в середине. Сама формула n-го члена — это линейная функция от номера n, поэтому точки прогрессии на графике лежат на одной прямой.

Сумму первых n членов считают по одной из двух формул:

• S(n) = (a₁ + a(n)) × n ÷ 2, если известен последний из складываемых членов;
• S(n) = (2a₁ + (n − 1) × d) × n ÷ 2, если известна только разность.

Идея первой формулы: пары «первый и последний», «второй и предпоследний» дают одну и ту же сумму, а таких пар n ÷ 2.

Часто в задаче известна сумма, а неизвестен первый член или число слагаемых. Тогда подставляешь всё известное в формулу суммы и решаешь обычное линейное уравнение. Например, если за 8 месяцев выручка составила 5800 тысяч рублей, а каждый месяц росла на 150, то (2a₁ + 7 × 150) × 8 ÷ 2 = 5800, откуда a₁ = 200.

Задание 1. В арифметической прогрессии a₁ = 40, d = −1,5. Найди номер члена, равного 4. Является ли членом прогрессии число 5?

1. Записываешь формулу: 4 = 40 + (n − 1) × (−1,5).
2. Переносишь 40: (n − 1) × (−1,5) = −36.
3. Делишь: n − 1 = 24, значит n = 25.
4. Для числа 5 делаешь то же: (n − 1) × (−1,5) = −35, n − 1 = 23,33... Номер должен быть натуральным числом, а здесь он дробный, поэтому 5 членом прогрессии не является.

Задание 2. Автомобиль за первую секунду торможения проехал 24 м, а за каждую следующую на 3 м меньше. Сколько метров он проедет за первые 5 секунд?

1. Это прогрессия: a₁ = 24, d = −3.
2. Пятый член: a₅ = 24 + 4 × (−3) = 12.
3. Сумма: S₅ = (24 + 12) × 5 ÷ 2 = 90.

Ответ: 90 м. Для проверки сложи пять чисел вручную: 24 + 21 + 18 + 15 + 12 = 90.

• Путают n и n − 1. В формуле a(n) = a₁ + (n − 1) × d множитель при d на единицу меньше номера. Проверь на втором члене: при n = 2 должно получиться a₁ + d.
• Теряют знак разности. В убывающей прогрессии d отрицательна, и в скобках нужно писать её со знаком. Ошибка в знаке даёт ответ, который растёт вместо убывания.
• Не проверяют, что номер натуральный. Если при поиске номера вышло дробное или отрицательное число, такого члена в прогрессии нет. Это не ошибка в решении, а ответ на вопрос «является ли число членом».
• Считают всё одной суммой в задачах с «ступеньками». Если доза лекарства растёт, потом держится постоянной, потом убывает, разбей задачу на три части: две прогрессии и постоянный участок. Для каждой части своё n и своя сумма.

Отдельно: арифметическую прогрессию не стоит путать с геометрической. В арифметической к члену прибавляют одно и то же число, в геометрической умножают на одно и то же число.

Ученики чаще всего присылают текстовые задачи: рост выручки по месяцам, торможение автомобиля, схема приёма капель, сравнение расходов за несколько лет. Встречаются и прямые задания: найти номер члена, выяснить, принадлежит ли число прогрессии, вывести формулу n-го члена для дробной последовательности вроде 1/2, 5/8, 3/4, 7/8 (здесь d = 1/8, а a(n) = (n + 3) ÷ 8). Многие из них сводятся к приёму из раздела про текстовые задачи: сначала понять, что именно образует прогрессию.

Найди похожее задание в списке выше и сверь ход решения со своим. Если нужного нет, сфотографируй своё условие и получи решение по шагам.