Что такое функция и какие у неё бывают свойства
Функция показывает, как каждому значению x (аргументу) соответствует ровно одно значение y. Задают её формулой, таблицей или графиком. Чаще всего в заданиях по теме нужно по формуле или по рисунку выписать свойства функции, их список почти всегда один и тот же.
- Область определения D(f): все x, при которых формулу можно вычислить.
- Область значений E(f): все y, которые функция может принять.
- Нули функции: значения x, при которых y = 0. На графике это точки пересечения с осью Ox.
- Промежутки знакопостоянства: где y > 0 (график выше оси Ox) и где y < 0 (ниже).
- Возрастание и убывание: функция возрастает, если большему x соответствует большее y, и убывает, если большему x соответствует меньшее y.
- Чётность: f(-x) = f(x) для чётной функции, f(-x) = -f(x) для нечётной.
В 9 классе эти свойства сначала разбирают на графиках, а потом по формулам для линейной функции, квадратичной функции и гиперболы y = k/x.
Как найти область определения и область значений
Область определения ищут по запретам. Их три основных:
- на ноль делить нельзя, поэтому знаменатель ≠ 0;
- под квадратным корнем не может быть отрицательное число: подкоренное выражение ≥ 0 (подробнее в теме квадратные корни);
- в остальных случаях (многочлен, например) ограничений нет, и D(f) — все числа.
Пример: у функции y = 4/(6 + x) знаменатель не равен нулю, значит x ≠ -6. Область определения: все числа, кроме -6.
Область значений проще всего читать по графику: смотри, какие значения y он занимает от самой нижней точки до самой верхней. Для y = x² график лежит не ниже нуля, поэтому E(y) = [0; +∞). Для y = x³ график уходит и вверх, и вниз, поэтому E(y) — все числа.
Разбор: свойства функции y = x² - 4x + 3
Разберём типичное задание «найти свойства функции по формуле».
Шаг 1. Область определения. Это многочлен, запретов нет: D(y) = (-∞; +∞).
Шаг 2. Значение в точке. Найдём y(-1) = (-1)² - 4×(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8.
Шаг 3. Нули. Решаем x² - 4x + 3 = 0. Корни 1 и 3, это нули функции.
Шаг 4. Вершина параболы. x = -b/(2a) = 4/2 = 2, y(2) = 4 - 8 + 3 = -1. Ветви направлены вверх, поэтому E(y) = [-1; +∞).
Шаг 5. Знаки. Между нулями парабола под осью Ox: y < 0 при 1 < x < 3. Вне этого отрезка y > 0, то есть при x < 1 и при x > 3.
Шаг 6. Монотонность. Функция убывает на (-∞; 2] и возрастает на [2; +∞).
Шаг 7. Чётность. y(-x) = x² + 4x + 3. Это не равно ни y(x), ни -y(x), значит функция ни чётная, ни нечётная.
Как читать свойства по графику
В заданиях с рисунком сначала посмотри, на каком отрезке нарисован график: это и есть область определения. Если сказано, что функция определена на [-4; 0], то левее -4 и правее 0 ничего искать не нужно.
Наименьшее значение функции — самая низкая точка графика, и нужен её y. Значение x при f(x) = 5 находят так: проводишь горизонталь на высоте 5 до пересечения с графиком и опускаешь точку на ось Ox.
У показательной функции y = aˣ всё определяется основанием. При a > 1 она возрастает (y = 3,5ˣ), при 0 < a < 1 убывает (y = 0,5ˣ). Дробь 5/3 больше единицы, значит y = (5/3)ˣ тоже возрастает.
Где ошибаются чаще всего
- Путают нуль функции с её значением. Нуль — это x, при котором y = 0. Ответ записывают по оси Ox, а не по Oy.
- Промежутки возрастания записывают по оси y. Промежутки всегда задают через x: «возрастает на [2; +∞)», а не «от -1 и выше».
- Ищут решение там, где его нет. В задаче «существует ли x, при котором 4/(6 + x) = 0» ответ «нет»: дробь равна нулю только при нулевом числителе, а здесь он равен 4.
- Проверяют чётность только подстановкой. Сначала убедись, что область определения симметрична относительно нуля. У y = √x она начинается с 0, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
- Решают уравнение с обратной пропорциональностью без проверки. Для y = -12/x при y = 0,2 получаем x = -12/0,2 = -60. Такое x подходит, потому что не равно нулю.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего встречаются вычисление значения функции в точке, чтение свойств по графику, построение гиперболы и парабол, соответствие формул и графиков, область определения с корнем или дробью, обратная функция. Есть и задачи с физическим смыслом графика, например нагревание льда.
Найди похожее задание в списке выше и посмотри ход решения. Если своего нет, сфотографируй условие и получи решение по шагам. Для заданий с показательной функцией пригодится тема показательные уравнения и неравенства.