На каком промежутке возрастает функция: а) y = x… (алгебра)

№ .

Возрастание степенных функций

На каком промежутке возрастает функция:
а) $y = x$ ; б) $y = x^{3}$ ; в) $y = x^{5}$ ;
г) $y = x^{2}$ ; д) $y = x^{4}$ ; е) $y = x^{6}$ ?

Решение

Функция с нечётным (а, б, в) возрастает на всей числовой прямой: большему соответствует большее значение .

Функция с чётным (г, д, е) убывает при , так как и уменьшается при росте от до . При она возрастает.

💡 Почему так

У нечётных степеней график идёт слева направо вверх. У чётных он похож на параболу: слева от нуля вниз, справа вверх.

Ответ

а)
б)
в)
г)
д)
е)

№ .

Убывание степенных функций

На каком промежутке убывает функция:
а) $y = x^{2}$ ; б) $y = x^{4}$ ; в) $y = x^{8}$ ?

Решение

Во всех трёх случаях показатель чётный. При верно . Если растёт от до , то убывает, значит, убывает и .

При эти функции возрастают.

💡 Почему так

Чётная степенная функция убывает на и возрастает на .

Ответ

а)
б)
в)

№ .

Графики степенных функций

В одной системе координат постройте графики функций:
а) $y = x^{2}$ , $y = x^{4}$ , $y = x^{6}$ ;
б) $y = x$ , $y = x^{3}$ , $y = x^{5}$ ;
в) $y = x$ , $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ .

Решение

а) Таблица значений:

	-	-	-,		,
			,		,
			,		,
			,		,

Графики чётные, проходят через , , . При чем больше показатель, тем ближе график к оси . При чем больше показатель, тем он круче.

б) Таблица значений:

-	-	-,	,
-	-	-,	,
-	-	-,	,
-	-	-,	,

Графики нечётные, симметричны относительно начала координат, проходят через , , .

в) Графики , , пересекаются в точках и . Значения берём из таблиц выше.

Ответ

а) Построены три чётные кривые, проходящие через , , .
б) Построены прямая и две нечётные кривые через , , .
в) Построены прямая , парабола и кубическая парабола . Общие точки: и .

№ .

Сравнение графиков на (; )

Выясните, какой из графиков двух функций расположен выше другого на интервале $(0; 1)$ :
а) $y = x$ и $y = x^{2}$ ; б) $y = x^{2}$ и $y = x^{3}$ ;
в) $y = x^{3}$ и $y = x^{4}$ ; г) $y = x^{4}$ и $y = x^{5}$ .

Решение

При каждое умножение на уменьшает число: .

Поэтому в каждой паре выше график с меньшим показателем.
а)
б)
в)
г)

Ответ

а) выше
б) выше
в) выше
г) выше

№ .

Сравнение графиков на (; +∞)

Выясните, какой из графиков двух функций расположен выше другого на интервале $(1; + \infty)$ :
а) $y = x$ и $y = x^{2}$ ; б) $y = x^{2}$ и $y = x^{3}$ ;
в) $y = x^{3}$ и $y = x^{4}$ ; г) $y = x^{4}$ и $y = x^{5}$ .

Решение

При каждое умножение на увеличивает число: .

Поэтому в каждой паре выше график с большим показателем.
а)
б)
в)
г)

Ответ

а) выше
б) выше
в) выше
г) выше

№ .*Сравнение трёх графиков на (-; )

Выясните, какой из графиков трёх функций расположен выше, а какой расположен ниже других на интервале $(- 1; 0)$ :
а) $y = x$ , $y = x^{3}$ , $y = x^{5}$ ;
б) $y = x^{2}$ , $y = x^{4}$ , $y = x^{6}$ .

Решение

При выполнено , поэтому и .

а) Значения , , отрицательны, и у них . Для отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Значит, .

б) Значения , , положительны, значит, .

Ответ

а) выше , ниже
б) выше , ниже

№ .*Сравнение трёх графиков на (-∞; -)

Выясните, какой из графиков трёх функций расположен выше, а какой расположен ниже других на интервале $(- \infty; - 1)$ :
а) $y = x$ , $y = x^{3}$ , $y = x^{5}$ ;
б) $y = x^{2}$ , $y = x^{4}$ , $y = x^{6}$ .

Решение

При выполнено , поэтому и .

а) Значения , , отрицательны. Больше то, у которого модуль меньше. Значит, .

б) Значения , , положительны, значит, .

Ответ

а) выше , ниже
б) выше , ниже

№ .*Неравенства со степенями

Найдите все значения $x$ , при каждом из которых выполняется неравенство:
а) $x < x^{3} < x^{5}$ ; б) $x > x^{3} > x^{5}$ ; в) $x^{2} < x^{4} < x^{6}$ ;
г) $x^{2} > x^{4} > x^{6}$ ; д) $x^{2} < x^{3}$ ; е) $x^{2} > x^{3}$ ?

Решение

Для используем результаты задач .–..

а) означает . Это верно при или . Для получаем , то же множество.

б) Противоположные знаки: , то есть или . Неравенство даёт то же.

в) означает , то есть . Для получаем то же условие.

г) означает , то есть и . Для получаем то же условие.

д) означает , то есть .

е) означает , то есть и .

Ответ

а)
б)
в)
г)
д)
е)

№ .

Графики степенных функций с большим показателем

Постройте график функции:
а) $y = x^{12}$ ; б) $y = x^{21}$ ; в) $y = x^{40}$ ; г) $y = x^{55}$ .

Решение

а) и в) Показатель чётный, поэтому функция чётная. График симметричен относительно оси , проходит через , , . Он лежит в верхней полуплоскости и очень близок к оси при , а при резко уходит вверх. У это выражено сильнее, чем у .

	-,	-	-,		,		,
	,		,		,		,
			,		,

б) и г) Показатель нечётный, поэтому функция нечётная. График симметричен относительно начала координат, проходит через , , . Он возрастает на всей прямой, при прижат к оси , а при резко уходит вверх (при ) и вниз (при ). У это выражено сильнее, чем у .

	-,	-	-,		,		,
	-	-	-,		,
	-	-	-,		,

💡 Почему так

Чётная степень даёт график, похожий на параболу, но «плоский» у нуля и более крутой после . Нечётная степень даёт график, похожий на кубическую параболу.

Ответ

а) чётная кривая через , , , расположена выше оси
б) нечётная кривая через , ,
в) чётная кривая через , , , круче, чем у
г) нечётная кривая через , , , круче, чем у

Помогло?

На каком промежутке возрастает функция: а) y = x; б) y =…