Комбинаторика и вероятность: что это за тема в 9 классе
Тема состоит из двух частей, и вторая опирается на первую. В комбинаторике ты считаешь варианты: сколько можно составить кодов, пар, чисел, расписаний. В теории вероятностей ты сравниваешь число подходящих вариантов с числом всех возможных.
В 9 классе в этой теме встречаются:
- правило произведения: если первый предмет выбирают 3 способами, а второй 4 способами, то пару можно составить 3 × 4 = 12 способами;
- перестановки, размещения и сочетания;
- факториал и вычисления с ним;
- треугольник Паскаля и бином Ньютона;
- классическая вероятность и вероятность события в опыте с кубиком или монетой;
- условная вероятность.
Если варианты нужно просто перечислить, как обеды из первого и второго блюд, помогает дерево вариантов: из каждой точки рисуешь ветки по числу вариантов следующего выбора.
Формулы комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания
Факториал числа n записывают n! и считают как произведение 1 × 2 × 3 × … × n. Например, 5! = 120. Отдельно запомни: 0! = 1 и 1! = 1.
Три основные формулы:
- Перестановки: P_n = n!. Это число способов расставить n разных предметов в ряд. P_4 = 24.
- Размещения: A_n^k = n! ÷ (n − k)!. Выбираем k предметов из n, и порядок важен. A_6^2 = 6 × 5 = 30.
- Сочетания: C_n^k = n! ÷ (k! × (n − k)!). Выбираем k предметов из n, и порядок не важен. C_6^2 = (6 × 5) ÷ (1 × 2) = 15.
Размещений всегда больше или столько же, сколько сочетаний: A_n^k = C_n^k × k!. Пара «Вера и Зоя» и пара «Зоя и Вера» в сочетаниях считается одним вариантом, а в размещениях двумя.
Когда в выражении есть дроби с факториалами, как в алгебраических дробях, выноси общий множитель: (n + 1)! = (n + 1) × n!, и n! сокращается.
Как решать задачи по комбинаторике: разбор по шагам
Возьмём задачу: на турнире 10 шахматистов, каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий сыграно?
Шаг 1. Определи, что выбираем. Выбираем пару игроков для одной партии.
Шаг 2. Проверь, важен ли порядок. Партия «Аня против Бори» и «Боря против Ани» одна и та же, значит порядок не важен. Это сочетания.
Шаг 3. Запиши формулу: C_10^2 = 10! ÷ (2! × 8!).
Шаг 4. Сократи 8!: C_10^2 = (10 × 9) ÷ (1 × 2) = 45.
Ответ: 45 партий.
Если бы каждая пара играла две партии, по одной белыми каждым, порядок стал бы важен, и ответ был бы A_10^2 = 10 × 9 = 90. Такие задачи про обмен фотографиями и футбольные матчи «дома и в гостях» решаются размещениями. Рукопожатия решаются сочетаниями.
Вероятность события: классическое определение и условная вероятность
Если все исходы опыта равновозможны, вероятность события A равна P(A) = m ÷ n, где n число всех исходов, а m число благоприятных. Вероятность всегда от 0 до 1. Невозможное событие имеет вероятность 0, достоверное 1.
Пример: в коробке 30 ручек, из них 6 красных. Вероятность достать красную: 6 ÷ 30 = 0,2.
Когда опыт состоит из двух бросков кубика, исходов 6 × 6 = 36. Событие «сумма равна 5» дают пары (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1). Их 4, значит вероятность 4 ÷ 36 = 1/9. Все пары лучше выписать в таблицу, чтобы ничего не потерять.
Условная вероятность нужна, когда что-то уже известно. В вазе 10 красных и 8 синих яблок, достали два, и первое оказалось красным. Какова вероятность, что второе тоже красное? Первое яблоко уже вынули, поэтому осталось 9 красных из 17. Ответ 9 ÷ 17. Пересчитывай и число благоприятных, и число всех исходов.
Комбинаторика помогает, когда исходы трудно выписать: число подходящих и всех вариантов считают по формулам сочетаний.
Где ошибаются чаще всего
- Путают размещения и сочетания. Перед формулой спроси себя: если поменять выбранные предметы местами, получится новый вариант? Если да, это размещения, если нет, сочетания.
- Забывают про ноль в числах. Из цифр 0, 3, 4 без повторов двузначных чисел не шесть, а четыре: 30, 34, 40, 43. Число не может начинаться с нуля.
- Складывают вместо умножения. Если выборы идут один за другим и независимы, варианты перемножают: 5 видов брюк и 6 камзолов дают 30 сочетаний, а не 11.
- Не меняют общее число исходов в условной вероятности. После того как один предмет вынут, в коробке их стало меньше на один.
- Ошибаются в бинимиальных коэффициентах. Для (a + b)^n коэффициенты берут из строки n треугольника Паскаля, например для n = 4 это 1, 4, 6, 4, 1. В (a − b)^n знаки чередуются: плюс, минус, плюс и так далее.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего приходят вычисления P_n, A_n^k и C_n^k, задачи на правило произведения, составление чисел из заданных цифр, подсчёт рукопожатий и обменов фотографиями. Также встречаются классическая вероятность с кубиком и такси, условная вероятность, треугольник Паскаля и разложение по формуле бинома.
Найди своё задание в списке выше и сверь ход решения со своим. Если похожего нет, сфотографируй условие и получи решение по шагам. Для разложения бинома пригодятся формулы сокращённого умножения и действия с многочленами, а для задач с долями и числом участников пригодится опыт текстовых задач.