ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 441

№

Высоты, не меньшие сторон

В треугольнике $ABC$ высота $AA_1$ не меньше стороны $BC$ , а высота $BB_1$ не меньше стороны $AC$ . Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный и прямоугольный.

Решение

Дано: , , , , .

Доказать: и .

Решение.

Если , то в прямоугольном треугольнике () гипотенуза больше катета: . Если , то . В любом случае . Вместе с условием получаем
Точно так же из прямоугольного треугольника : , а по условию , поэтому
Из и следует — треугольник равнобедренный. Тогда в цепочках пунктов и все неравенства обращаются в равенства: и .
Равенство возможно только при (иначе гипотенуза была бы строго больше катета ). Значит, основание высоты из совпадает с , то есть и — треугольник прямоугольный.

💡 Почему так

Перпендикуляр не длиннее наклонной: и ; вместе с условием это даёт и , а высота может равняться стороне, только если совпадает с ней.

Ответ

Доказано: и — треугольник равнобедренный прямоугольный.

Помогло?

Номер 441