ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 456

№

Окружность через точку, касающаяся прямой в данной точке

Даны прямая $m$ , точка $A$ на прямой $m$ и точка $B$ , не лежащая на этой прямой. Постройте окружность, проходящую через точку $B$ и касающуюся прямой $m$ в точке $A$ .

Решение

Дано: прямая , , .

Построить: окружность, проходящую через и касающуюся в точке .

Анализ. Пусть окружность с центром построена. Прямая касается её в точке , поэтому радиус перпендикулярен к (п. ): центр лежит на перпендикуляре к прямой , проведённом через точку . Так как (радиусы), точка равноудалена от и и лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (следствие п. ).

Построение.

Через точку проводим прямую , перпендикулярную к .
Строим серединный перпендикуляр к отрезку .
Точку пересечения прямых из п. и п. обозначаем и проводим окружность с центром радиуса .

Доказательство. Точка лежит на серединном перпендикуляре к , поэтому — окружность проходит через (определение окружности). Прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна к радиусу , значит, — касательная (признак касательной, задача ), а — точка касания.

Исследование. Прямая перпендикулярна к , серединный перпендикуляр к перпендикулярен к . Они были бы параллельны, только если или лежит на ; но , а , поэтому прямая пересекает в точке . Значит, прямые из п. и п. пересекаются ровно в одной точке — задача всегда имеет единственное решение.

💡 Почему так

Центр лежит на перпендикуляре к касательной в точке касания и на серединном перпендикуляре к хорде .

Ответ

Центр — точка пересечения перпендикуляра к в точке и серединного перпендикуляра к ; искомая окружность — с центром и радиусом . Решение единственно.

Помогло?

Номер 456