Дано: точки , , .
Построить: окружность, проходящую через , и .
Анализ. Пусть окружность с центром построена. Тогда (радиусы). Из следует, что лежит на серединном перпендикуляре к отрезку , из — что лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (п. ). Значит, — точка пересечения этих двух прямых.
Построение.
- Строим серединный перпендикуляр к отрезку .
- Строим серединный перпендикуляр к отрезку .
- Точку их пересечения обозначаем и проводим окружность с центром радиуса .
Доказательство. Точка лежит на серединном перпендикуляре к , поэтому ; она лежит на серединном перпендикуляре к , поэтому . Значит, , и окружность с центром радиуса проходит через все три точки.
Исследование. Если точки , , не лежат на одной прямой, то серединные перпендикуляры к и пересекаются (они перпендикулярны к пересекающимся прямым и , поэтому не могут быть параллельны), и притом в одной точке — задача имеет единственное решение (следствие п. : через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит окружность, и только одна).
Если же , , лежат на одной прямой, то серединные перпендикуляры к и перпендикулярны к одной прямой и потому параллельны — общей точки у них нет, и центра не существует. Можно рассуждать и иначе: прямая и окружность имеют не более двух общих точек (п. ), поэтому через три точки одной прямой окружность провести нельзя.
