Дано: отрезок (сторона ), угол (разность , ), отрезок (сумма ).
Построить: треугольник , в котором , , .
Анализ. Пусть треугольник построен. На продолжении стороны за точку отложим отрезок . Тогда .
Треугольник равнобедренный, поэтому . Угол — внешний угол этого треугольника при вершине , значит, , то есть
Тогда
Итак, в треугольнике
известны сторона
, сторона
и угол
. Его можно построить, а затем найти точку
: она лежит на отрезке
и равноудалена от
и
, то есть является точкой пересечения
с серединным перпендикуляром к
.
Построение.
- Строим угол, равный : проводим прямую, строим на ней прямой угол и к одной из его сторон прикладываем половину угла (биссектрисой делим угол пополам).
- Откладываем на одной стороне построенного угла с вершиной отрезок .
- Проводим окружность с центром радиуса ; точку её пересечения со второй стороной угла обозначаем .
- Строим серединный перпендикуляр к отрезку ; точку его пересечения с отрезком обозначаем .
- Треугольник — искомый.
Доказательство. по построению. Точка лежит на серединном перпендикуляре к , поэтому , и . Треугольник равнобедренный, поэтому , а внешний угол равен их сумме, то есть . Тогда
откуда
.
Исследование. Угол тупой, поэтому в треугольнике сторона наибольшая, и для существования треугольника необходимо . При окружность с центром радиуса пересекает вторую сторону угла ровно в одной точке (точки этой стороны, лежащие по одну сторону от , удаляются от , а ). Серединный перпендикуляр к пересекает отрезок : концы этого отрезка лежат по разные стороны от перпендикуляра, так как точка ближе к , чем к (), а точка , напротив, ближе к , чем к . Значит, при (и ) задача имеет единственное решение.
