Дано: окружность с центром радиуса , прямая , точка (точка не лежит на данной окружности).
Построить: окружность, касающуюся прямой в точке и данной окружности.
Анализ. Пусть окружность с центром радиуса построена. Так как она касается в точке , то : центр лежит на перпендикуляре к прямой в точке , и . Две окружности касаются (имеют ровно одну общую точку), если расстояние между центрами равно сумме радиусов (внешнее касание) или их разности (внутреннее касание): общая точка лежит на прямой центров, а любая другая общая точка нарушала бы неравенство треугольника для , , .
Внешнее касание: . Отметим на прямой точку по другую сторону от , чем , так, что . Тогда , то есть равноудалена от и и лежит на серединном перпендикуляре к отрезку .
Внутреннее касание: . Отметим на точку по ту же сторону от , что и , так, что . Тогда , и снова лежит на серединном перпендикуляре к отрезку .
Построение.
- Через точку проводим прямую , перпендикулярную к .
- На прямой откладываем от точки отрезки по разные стороны от .
- Строим серединный перпендикуляр к отрезку ; точку его пересечения с прямой обозначаем . Окружность с центром радиуса — искомая (внешнее касание).
- Строим серединный перпендикуляр к отрезку ; точку его пересечения с обозначаем . Окружность с центром радиуса — второе решение (внутреннее касание).
Доказательство. Окружность с центром проходит через и , поэтому касается в точке (задача ). Точка лежит на серединном перпендикуляре к , поэтому . Точки и лежат по разные стороны от на прямой , значит, , и : окружности касаются внешним образом. Для : , окружности касаются внутренним образом.
Исследование. Каждое из построений и даёт решение, если соответствующий серединный перпендикуляр пересекает прямую , то есть если отрезок (соответственно ) не перпендикулярен к . Как правило, задача имеет два решения. Если данная окружность касается прямой (в точке, отличной от ), то , и построение решения не даёт — остаётся одно решение.
