Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины.
Дано:
Доказать: точка
Решение.
Пусть для определённости
-
По задаче
(применённой к сторонам ) биссектриса делит сторону на отрезки . Так как , то . Точки и лежат на луче , и , значит, лежит между и . Поэтому лежит на луче (по другую сторону от , чем ). -
По задаче
основание высоты лежит на луче , причём (это показано в задаче ). -
Итак, точки
и лежат на прямой по разные стороны от точки : — на луче , — на луче . Следовательно, лежит между и .
Случай
Биссектриса отсекает от большей стороны больший отрезок (задача
Доказано: основание биссектрисы лежит между основаниями высоты и медианы, проведённых из той же вершины.
