Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.
Дано:
Доказать: если
Решение.
Обозначим
-
Пусть
. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол: , значит, . В треугольнике : , значит, . Складывая, получаем , то есть , откуда — угол острый. -
Пусть
. Треугольники и равнобедренные: , . Тогда , то есть , — угол прямой. -
Пусть
. Тогда против меньшей стороны лежит меньший угол: и , поэтому , — угол тупой.
Сравнение медианы с половиной стороны — это сравнение сторон в треугольниках
Доказано:
