ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 425

№

Перпендикуляры к биссектрисам треугольника

Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.

Решение

Дано: , , , ; через , , проведены прямые, перпендикулярные соответственно к биссектрисам , , .

Доказать: три треугольника, образованные этими прямыми и сторонами , имеют соответственно равные углы.

Решение.

Биссектриса делит угол пополам: . Прямая, проведённая через перпендикулярно к , образует с лучом угол (один из лучей этой прямой) и угол (другой луч). Точно так же прямая через образует с лучом углы и , а прямая через — с лучами и углы .
Рассмотрим прямые, проведённые через и . Луч прямой, проведённой через , который образует с лучом угол , лежит по ту же сторону от прямой , что и биссектриса , то есть по ту же сторону, что и точка ; луч, образующий угол , — по другую сторону. То же верно для прямой, проведённой через . По одну сторону от (там, где нет ) лежат лучи с углами и ; это односторонние углы при секущей , их сумма , поэтому прямые не параллельны и пересекаются в некоторой точке .

Точка лежит по одну сторону от прямой . Если бы она лежала по ту же сторону, что и , то углы треугольника при стороне равнялись бы и , а их сумма больше — невозможно. Значит, лежит по другую сторону от , и

Так же для треугольника при стороне :

и для треугольника при стороне :

Итак, каждый из трёх треугольников имеет углы , , , то есть их углы соответственно равны.

💡 Почему так

Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла, образует с его сторонами углы минус половина угла; поэтому у всех трёх треугольников один и тот же набор углов.

Ответ

Доказано: у каждого из трёх треугольников углы равны , , .

Помогло?

Номер 425