№ Неравные треугольники с общей стороной
В треугольнике ABC стороны AB и AC не равны, отрезок AM соединяет вершину A с произвольной точкой M стороны BC. Докажите, что треугольники AMB и AMC не равны друг другу.
Решение
Дано: , , .
Доказать: .
Решение.
Углы и смежные, поэтому , и хотя бы один из них не меньше ; пусть для определённости .
Случай : . Тогда . Угол — внешний угол треугольника при вершине , поэтому по задаче он больше каждого из углов и . Итак, угол больше каждого из трёх углов треугольника . Если бы треугольники и были равны, то углу треугольника равнялся бы какой-то угол треугольника — а таких нет. Значит, треугольники не равны.
Случай : , то есть . Предположим, что прямоугольные треугольники и равны. При равенстве прямым углам соответствуют прямые углы (остальные углы острые), поэтому гипотенузе соответствует гипотенуза , и . Это противоречит условию. Значит, и в этом случае треугольники не равны.
💡 Почему так
Больший из смежных углов при — внешний для второго треугольника и больше всех его углов; если же углы при прямые, равенство треугольников дало бы .
Ответ
Доказано: треугольники и не равны.
