Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.
Дано:
Доказать:
Решение.
Пусть для определённости
-
В прямоугольном треугольнике
( ) . -
По задаче
середина гипотенузы — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, поэтому . Треугольник равнобедренный, значит, . -
— биссектриса прямого угла: . Так как , луч проходит внутри угла , и
Так как, луч проходит внутри угла , и
-
Итак,
, то есть биссектриса делит угол пополам.
Высота и медиана из вершины прямого угла образуют с катетами равные углы (оба равны углу
Доказано:
