ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 453

№

Касающиеся окружности и общая касательная

Даны две равные окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ , имеющие одну общую точку (такие окружности называются касающимися). Прямая $m$ является касательной к каждой из них в точках $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что отрезок $AB$ равен отрезку $O_1O_2$ .

Решение

Дано: окружности с центрами и одного радиуса , имеющие единственную общую точку ; прямая касается первой окружности в точке , второй — в точке , .

Доказать: .

Доказательство.

По свойству касательной (п. ) радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен к касательной: и . Две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны, поэтому .
Центры и лежат по одну сторону от прямой . Действительно, каждая окружность целиком лежит по ту же сторону от своей касательной, что и её центр (все точки окружности, кроме точки касания, удалены от центра на , а расстояние от центра до прямой равно , поэтому отрезок от центра до любой точки окружности не пересекает ). Если бы и лежали по разные стороны от , общая точка окружностей лежала бы на и совпадала бы и с , и с , что противоречит условию .
Рассмотрим треугольники и . У них , сторона общая, а как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых и секущей (точки и лежат по разные стороны от прямой ). Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак), откуда , что и требовалось доказать.

💡 Почему так

Радиусы в точки касания перпендикулярны к общей касательной, значит, параллельны и равны; треугольники и равны по первому признаку.

Ответ

Доказано: и , поэтому и .

Помогло?

Номер 453