ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 460

№

Окружность с центром на катете, касающаяся гипотенузы

Дан прямоугольный треугольник. Постройте окружность с центром на одном из катетов, которая касается гипотенузы и проходит через вершину прямого угла треугольника.

Решение

Дано: треугольник , .

Построить: окружность с центром на катете , касающуюся гипотенузы и проходящую через .

Анализ. Пусть окружность с центром построена, — её радиус. Так как , отрезок — перпендикуляр из к прямой , то есть расстояние от до прямой равно . Окружность касается гипотенузы, поэтому расстояние от до прямой тоже равно . Итак, точка равноудалена от сторон угла и лежит на его биссектрисе (п. ).

Построение.

Строим биссектрису угла ; точку её пересечения с катетом обозначаем .
Проводим окружность с центром радиуса .

Доказательство. Окружность проходит через по построению. Прямая перпендикулярна к радиусу в его конце , значит, расстояние от до равно . Точка лежит на биссектрисе угла , поэтому расстояние от до прямой равно расстоянию до , то есть радиусу . Следовательно, прямая — касательная к окружности (задача ), а точка касания — основание перпендикуляра из на (она лежит на гипотенузе, так как углы и острые).

Исследование. Биссектриса угла пересекает противоположную сторону ровно в одной точке, поэтому окружность с центром на катете единственна. Аналогично (с биссектрисой угла ) строится окружность с центром на катете :

Всего задача имеет два решения — по одному для каждого катета.

💡 Почему так

Центр искомой окружности равноудалён от вершины прямого угла и от гипотенузы; так как , это равносильно равноудалённости от прямых и — то есть центр лежит на биссектрисе угла .

Ответ

Центр — точка пересечения катета с биссектрисой угла (или катета с биссектрисой угла ), радиус — расстояние от центра до . Два решения.

Помогло?

Номер 460