Номер 458

Дано: угол с вершиной , точка на одной из его сторон.

Построить: окружность, касающуюся обеих сторон угла, причём стороны — в точке .

Анализ. Пусть окружность с центром построена. Она касается стороны в точке , поэтому (п. ): центр лежит на перпендикуляре к прямой в точке . Окружность касается обеих сторон угла, значит, центр равноудалён от сторон угла и лежит на его биссектрисе (п. ).

Построение.

1. Через точку проводим прямую, перпендикулярную к стороне .
2. Строим биссектрису данного угла.
3. Точку пересечения биссектрисы с перпендикуляром обозначаем и проводим окружность с центром радиуса .

Доказательство. Прямая проходит через точку окружности перпендикулярно к радиусу , поэтому касается окружности в точке (задача ). Точка лежит на биссектрисе угла, поэтому расстояние от до второй стороны равно расстоянию до первой (п. ), то есть равно радиусу — вторая сторона тоже касается окружности (задача ). Точки касания и лежат на сторонах угла (а не на их продолжениях), так как — внутренняя точка угла.

Исследование. Биссектриса образует со стороной острый угол (половину неразвёрнутого угла), а перпендикуляр в точке образует с прямой угол, поэтому они не параллельны и пересекаются ровно в одной точке. Задача всегда имеет единственное решение.