Дано: прямые , точка , не лежащая на них.
Построить: окружность, проходящую через и касающуюся прямых и .
Анализ. Пусть окружность с центром радиуса построена и касается и в точках и . Тогда , и , то есть центр равноудалён от прямых и . По задаче множество таких точек — прямая , параллельная и и проходящая через середину их общего перпендикуляра; при этом равен половине расстояния между прямыми и . Кроме того, , поэтому лежит на окружности с центром радиуса .
Построение.
- Через произвольную точку прямой проводим перпендикуляр к ; он пересекает в точке . Отрезок — общий перпендикуляр, .
- Строим середину отрезка и проводим через прямую , параллельную .
- Проводим окружность с центром радиуса ; точки её пересечения с прямой обозначаем и .
- Проводим окружность с центром радиуса (и, аналогично, с центром ).
Доказательство. Точка лежит на прямой , поэтому расстояния от до и до равны (задача ). Расстояние от центра до каждой из прямых равно радиусу, значит, окружность касается и , и (задача ). Так как , окружность проходит через .
Исследование. Точка лежит между прямыми и (иначе окружность радиуса с центром на до неё не дотянется: все точки такой окружности лежат в полосе между и ). Если лежит между прямыми, но не на , расстояние от до меньше , окружность с центром пересекает в двух точках — два решения. Если лежит на , то и — точки прямой , удалённые от на , — тоже два решения. Если не лежит между прямыми, решений нет.
