ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 436

№

Периметр треугольника и перпендикуляр к биссектрисе

Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла $A$ , а из вершины $B$ проведён перпендикуляр $BH$ к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника $BCH$ больше периметра треугольника $ABC$ .

Решение

Дано: ; прямая проходит через перпендикулярно к биссектрисе угла ; .

Доказать: .

Решение.

Продолжим сторону за точку и отложим отрезок . Треугольник равнобедренный, поэтому биссектриса угла является его высотой и медианой, то есть серединным перпендикуляром к .
Углы и смежные. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Биссектриса угла — это луч ; прямая проходит через перпендикулярно к , а через точку проходит только одна прямая, перпендикулярная к . Значит, прямая содержит биссектрису угла , то есть — серединный перпендикуляр к отрезку .
Точка лежит на , поэтому она равноудалена от концов отрезка : .
Точка не лежит на прямой (прямая пересекает прямую только в точке , а , иначе и , что невозможно). Поэтому для треугольника верно неравенство треугольника: .
Тогда

💡 Почему так

Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла , — серединный перпендикуляр к отрезку , где ; это заменяет на , и ломаная длиннее отрезка .

Ответ

Доказано: .

Помогло?

Номер 436