ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 459

№

Треугольник наименьшего периметра с вершиной внутри угла

Даны острый угол и его внутренняя точка $A$ . Постройте на сторонах угла такие точки $B$ и $C$ , чтобы периметр треугольника $ABC$ был наименьшим.

Решение

Дано: острый угол с вершиной , точка внутри угла.

Построить: точки и на сторонах угла, при которых периметр треугольника наименьший.

Анализ. Пусть — точка, симметричная точке относительно одной стороны угла, — точка, симметричная относительно другой стороны. Для любой точки первой стороны , а для любой точки второй стороны (каждая точка оси симметрии равноудалена от симметричных точек — п. , ). Поэтому периметр треугольника равен

то есть длине ломаной

, а она не меньше длины отрезка

(следствие неравенства треугольника, п. ). Равенство достигается, когда точки

лежат на отрезке

Построение.

Строим точку , симметричную относительно первой стороны угла: проводим из перпендикуляр к этой стороне и откладываем на его продолжении.
Так же строим точку , симметричную относительно второй стороны ( стороне, ).
Проводим прямую ; точки её пересечения со сторонами угла обозначаем и .

Доказательство. Для построенных точек . Для любых других точек и на сторонах угла , причём равенство возможно, только если и лежат на отрезке , то есть совпадают с и . Значит, периметр треугольника наименьший.

Исследование. Так как (точка лежит на обеих осях симметрии) и (угол острый), отрезок пересекает обе стороны угла во внутренних точках — решение существует и единственно.

💡 Почему так

Осевая симметрия относительно сторон угла «разгибает» ломаную в ломаную с закреплёнными концами; кратчайшая такая ломаная — отрезок .

Ответ

и — точки пересечения сторон угла с прямой , где и — точки, симметричные относительно сторон угла; наименьший периметр равен .

Помогло?

Номер 459