Номер 412

Дано: прямые и пересекаются в точке .

Построить: оси симметрии пары прямых , .

Анализ. Пусть — ось симметрии прямых и . Точка — единственная общая точка прямых, поэтому симметричная ей точка тоже общая, то есть симметрична сама себе и лежит на . Возьмём точку , ; симметричная ей точка лежит на , причём и, как показано ниже, лучи и образуют с равные углы. Значит, содержит биссектрису одного из углов между прямыми и .

Построение.

1. Строим биссектрису одного из углов, образованных прямыми и (циркулем и линейкой: засечки на сторонах угла на равных расстояниях от , затем засечки равного радиуса из них). Прямая — первая ось.
2. Строим биссектрису смежного угла; прямая — вторая ось. (Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому можно построить и как перпендикуляр к в точке .)

Доказательство. Покажем, что прямая — ось симметрии прямых и . Пусть — любая точка прямой , отличная от , и — точка, симметричная относительно , — середина (она лежит на , ). Точка лежит на оси, поэтому , и прямоугольные треугольники и равны по двум катетам; значит, . Луч образует с угол, равный половине угла между и (так как — биссектриса), и луч образует с такой же угол, но по другую сторону от . От луча прямой в данную полуплоскость можно отложить только один угол данной величины, и такой угол уже образует луч прямой . Поэтому луч лежит на прямой , то есть . Точно так же точке прямой симметрична точка прямой , а точка симметрична самой себе. Значит, — ось симметрии прямых и . Для рассуждение такое же.

Исследование. Других осей нет: любая ось проходит через и содержит биссектрису одного из двух пар вертикальных углов, а это как раз прямые и . Итак, две пересекающиеся прямые имеют ровно две оси симметрии, и они взаимно перпендикулярны.