№ Минимум смоченного периметра треугольника
Сечение канала — равнобедренный треугольник площади S. Каким должен быть угол при вершине этого треугольника, чтобы канал имел наименьший смоченный периметр (длина границы сечения, соприкасающаяся с водой)?
Решение
Пусть равные боковые стороны сечения имеют длину , а угол между ними равен , где . Если вода касается двух боковых сторон, смоченный периметр . Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними равна . Выразим из этого равенства , поэтому .
Площадь задана и положительна. На промежутке синус положителен и не превосходит . Следовательно, , причём равенство возможно тогда и только тогда, когда . Это происходит при . Значит, наименьший смоченный периметр достигается у прямоугольного равнобедренного сечения.
Ответ
Угол при вершине должен быть .
