Пара чисел x=3, y=2 является решением уравнения (x+y2)(x−y2)=1. Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.
Решение
Проверим данную пару: , при , получаем — равенство выполняется.
Возведём обе части равенства в -ю степень ( — натуральное число):
.
По формуле бинома Ньютона раскрывается в сумму слагаемых вида : слагаемые с чётным дают рациональные числа, а слагаемые с нечётным содержат множитель . Собирая их вместе, получаем
для некоторых натуральных чисел и . Заменив в биноме на (коэффициенты при этом не меняются, меняются лишь знаки нечётных слагаемых), получаем
.
Тогда
,
то есть — пара тоже является решением уравнения .
Так как , степени с ростом неограниченно возрастают, поэтому числа и при разных различны (строго возрастают), а значит получаем бесконечно много различных пар натуральных чисел.
Приведём несколько первых пар: при — , (исходная пара); при : , значит , (проверка: ); при : , значит , (проверка: ). Продолжая этот процесс, получаем сколько угодно новых пар.
Ответ
пары , где , , дают бесконечно много решений; например, , , , …
Помогло?
Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.
