№ Наибольший объём коробки
Из квадратного листа картона со стороной a (рис. 83) надо сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по углам квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был наибольшим?
Решение
Пусть сторона вырезанного квадрата равна . После сгибания высота коробки равна , а сторона её квадратного дна равна . Чтобы дно и высота были положительными, .
По формуле объёма прямоугольного параллелепипеда . Дифференцируем по правилу произведения и правилу цепочки: .
На допустимом промежутке . Поэтому при производная положительна, а при отрицательна. По признаку экстремума функция сначала возрастает, затем убывает; её максимум достигается при . На концах промежутка объём стремится к нулю, поэтому это также наибольший объём среди всех коробок.
Подставляя найденную высоту, получаем . Следовательно, высота должна составлять шестую часть стороны листа.
