) Подкоренное выражение неотрицательно при , то есть или . На внутренних точках области определения . Если , то , поэтому числитель отрицателен и функция убывает. Если , оба слагаемых числителя положительны и функция возрастает.
По формуле функции , ; график оси координат не пересекает. При рационализация даёт снизу: слева горизонтальная асимптота . При имеем , поэтому справа наклонная асимптота . Для построения отметим точки из таблицы: , , , .
) Условие даёт или . Во внутренних точках . При числитель , значит, . При имеем , значит, . Поэтому левая ветвь возрастает до , правая убывает от . Это также точки с вертикальными касательными со стороны допустимых значений.
При преобразуем , поэтому — горизонтальная асимптота справа. При из следует , то есть слева асимптота . Отметим , , , .
) Область определения — вся числовая прямая; , поэтому и пересечение с осями — . По правилу произведения . Знаки производной: минус при , плюс при , минус при . Следовательно, — минимум, — максимум. При экспонента убывает быстрее многочлена, и : справа асимптота ; слева функция стремится к .
Вторая производная . Она меняет знак в и ; это абсциссы точек перегиба. Для эскиза удобны значения , , , , .
) Область определения — ; нуль функции — . По правилу произведения . Так как , функция возрастает при (в касательная горизонтальна) и убывает при . Максимум равен .
Для выпуклости ещё раз дифференцируем: . Знак меняется при , и , поэтому все три — абсциссы точек перегиба. При сверху, следовательно, справа асимптота ; при функция стремится к . Таблица опорных значений: , , , , .
) Знаменатель не должен быть нулём: . Деление многочленов даёт . Поэтому — вертикальная асимптота (с обеих сторон ), а — наклонная асимптота при .
Производная по правилу частного или почленным дифференцированием равна . При она положительна, при отрицательна, при положительна. Значит, — точка максимума, . При производная нулевая, но знак не меняется, следовательно, экстремума нет. При этом , и график касается оси . Вторая производная меняет знак в : это точка перегиба. Для эскиза также используем , .
) Область определения: . Почленным делением или сравнением старших степеней получаем ; дробный остаток стремится к нулю при . Поэтому наклонная асимптота , а — вертикальная асимптота. При подходе к ней слева знаменатель отрицателен и , справа .
По правилу частного . Знаменатель положителен, так что знак зависит от : плюс при , минус при и , плюс при . Поэтому максимум достигается при , ; минимум при , . По второй производной видно, что левая ветвь выпукла вниз, правая — вверх; в знак не меняется. Для эскиза: , , .
Полученные области определения, экстремумы, асимптоты и опорные точки задают все ветви шести графиков.
Ответ
Ветви при и ; асимптоты слева, справа.
Ветви при и ; асимптоты слева, справа.
Минимум , максимум .
Максимум .
Максимум ; асимптоты , .
Максимум , минимум ; асимптоты , .
Помогло?
Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.
