№ Максимальная площадь сечения тоннеля
Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, сверху завершённого полукругом. Определить радиус полукруга, при котором площадь сечения будет наибольшей, если периметр сечения равен p.
Решение
Обозначим радиус полукруга через , высоту прямоугольника через . Диаметр полукруга равен ширине прямоугольника, то есть . Во внешний периметр входят нижняя сторона , две боковые стороны по и дуга полукруга длины . Поэтому , откуда . Условие задаёт .
Площадь равна сумме площади прямоугольника и полукруга: . Подставляем найденное : . Это парабола, ветви направлены вниз. Производная положительна до и отрицательна после. Найденный радиус лежит внутри допустимого интервала, так как . Значит, при нём площадь максимальна. Высота тогда , то есть .
Ответ
Радиус полукруга ; при этом высота прямоугольника тоже равна .
