Доказать, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.
Решение
Пусть радиус данного круга , угол при вершине равнобедренного треугольника , где . По теореме синусов основание равно , каждая боковая сторона — (её противолежащий угол равен ). Значит, .
Обозначим ; тогда и . Поскольку , максимум и достигается в одном месте. . По правилу произведения производная переменной части равна . Она положительна при и отрицательна при . Следовательно, единственный максимум достигается при , то есть . Угол при вершине ; углы при основании также равны . Треугольник равносторонний.
Ответ
Наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.
Помогло?
Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.
