ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер Гл.2 ВП 4

Гл. ВП Делимость на сумму переменных

Можно ли утверждать, что при любых натуральных $m$ и $n$ делится на $m+n$ число $a$ , если: 1) $a=m^3+n^3$ ; 2) $a=m^5+n^5$ ; 3) $a=m^6-n^6$ ; 4) $a=\frac{m^8-n^8}{m^2+n^2}$ ?

Решение

По формуле суммы кубов . Второй множитель целый, значит делимость есть.
Сгруппируем члены, чтобы выделить множитель : . При раскрытии скобок промежуточные члены взаимно уничтожаются; скобка целая. Значит, сумма пятых степеней делится на .
По формуле разности квадратов . Второй множитель из пункта делится на , поэтому и всё произведение делится на .
Сначала проверим, что заданная дробь целая: . Поскольку , сокращаем этот множитель и получаем . Здесь явно есть целый множитель . Следовательно, во всех четырёх пунктах ответ утвердительный.

Ответ

Да; ) да; ) да; ) да.

Помогло?

Номер Гл.2 ВП 4