Найти все целочисленные решения уравнения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
-
Выделим квадрат:
. По формуле разности квадратов . Оба множителя имеют одинаковую чётность, так как их сумма равна . Произведение равно чётному числу , поэтому оба множителя чётные. Единственные пары чётных целых множителей с произведением — и . Из первой получаем , ; из второй , . Проверка: , . -
Соберём члены с
: . При правая часть равна , поэтому решений с нет. Раскрытие скобок показывает, что . Следовательно, . Для целого число должно делить . Поскольку делители равны , получаем . Подстановка даёт соответственно . Каждая пара удовлетворяет исходному равенству, а других делителей нет. -
Умножим равенство на
и сгруппируем: , то есть . Пусть . Тогда — целый делитель и должен быть целым. Из этому условию отвечают . По формуле получаем пары . Они исчерпывают все возможные делители. -
После умножения на
имеем , откуда . Обозначив , видим, что делит и целое. Из делителей подходят . Формула даёт соответственно . Перебор полон, значит других целочисленных решений нет.
, . ) , , , . ) , , . ) , , .
