ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер 269

№

Делимость по модулю

Доказать, что число $a$ делится на $m$ , если: 1) $a=25^{10}+7\cdot5^{18}$ , $m=32$ ; 2) $a=10^{15}+10^{20}-92$ , $m=18$ ; 3) $a=86^7-12^5-38^6$ , $m=10$ .

Решение

По модулю имеем , но удобнее сгруппировать . Поэтому . Последняя запись прямо показывает делимость на .
Чтобы доказать делимость на , достаточно доказать делимость на взаимно простые и . Числа и чётные, тоже чётно, значит делится на . По модулю число , поэтому . Значит, кратно и , и , следовательно, .
Для делимости на проверяем последнюю цифру, то есть остаток по модулю . , а любая положительная степень оканчивается на : , далее умножение на сохраняет остаток . Кроме того, и . Следовательно, . Во всех пунктах требуемая делимость доказана.

Ответ

Делится на ;
на ;
на .

Помогло?

Номер 269