ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер 262

№

Доказательство делимости степеней

Доказать, что число: 1) $28\cdot20^{15}-10\cdot18^{13}$ делится на 19; 2) $3^3\cdot23^8+5^8\cdot2^{14}$ делится на 13; 3) $125^{24}-1825$ делится на 600; 4) $100^{20}-50\cdot16^5$ делится на 49; 5) $42^{365}+53^{241}$ делится на 5; 6) $71^{325}+41^{135}$ делится на 7.

Решение

По модулю числа , , , . Поэтому .
, значит . Далее , поэтому . Так как (или ), имеем . Также , откуда . Вся сумма сравнима с .
Разложим модуль: , причём множители попарно взаимно просты. Проверим делимость разности на каждый из этих множителей. По модулю : , значит ; , разность сравнима с нулём. По модулю : , . По модулю : , , значит ; . Следовательно, разность делится на , и , а значит, на их произведение .
, , а . Поэтому .
, . Так как , по циклу . Аналогично , поэтому . Сумма делится на .
, . Следовательно, . Во всех пунктах получен нулевой остаток по требуемому модулю.

Ответ

Делится на ; ) на ; ) на ; ) на ; ) на ; ) на .

Помогло?

Номер 262