ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер 1141

№

Теорема тангенсов

Немецкий астроном и математик Региомонтан доказал так называемую теорему тангенсов, связывающую длины двух любых сторон треугольника (например, $a$ и $b$ ) и величины углов, лежащих против этих сторон ( $\alpha$ и $\beta$ соответственно): $\frac{a-b}{a+b}=\frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha-\beta}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}}$ . Доказать справедливость этой формулы (используя теорему синусов).

Решение

Обозначим треугольник так, что , , , .

По теореме синусов стороны пропорциональны синусам противоположных углов: , где . Следовательно, , .

Подставляем в левую часть и сокращаем положительное : .

По формулам преобразования суммы и разности синусов числитель равен , а знаменатель — .

Углы треугольника положительны и , поэтому , . Сокращаем двойки и группируем множители: . Это требуемая формула.

Ответ

Теорема тангенсов доказана.

Помогло?

Номер 1141